वह अवस्था |φ⟩ जिसके लिए \(L^2|\varphi\rangle=6 \hbar^2|\varphi\rangle\) और \(L_z|\varphi\rangle=2 \hbar|\varphi\rangle\) है, में \(\langle L_x^2 \rangle\) का मान है:

अवधारणा:

हम कोणीय संवेग के गुणों का उपयोग कर रहे हैं अर्थात्-\(<L^2>=<L_x>^2+<L_y>^2+<L_z>^2\) और \(L\) और \(L_z\) के दिए गए मानों को रखकर हम \(L_x\) का मान ज्ञात कर सकते हैं।

व्याख्या:

दिया गया है,

• \(L^2|\phi>=6\hbar^2|\phi>\)
• \(L_z|\phi>=2\hbar|\phi>\)

यहाँ L कोणीय संवेग है और \(\hbar\) प्लांक नियतांक है

कोणीय संवेग सूत्र का उपयोग करके, हम कोणीय संवेग के प्रत्याशा मान इस प्रकार लिख सकते हैं

• \(<L^2>=<L_x>^2+<L_y>^2+<L_z>^2\)

कोणीय संवेग संकारक पर केट, ब्रा संकारक लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है

• \(<\phi|L^2|\phi>=<\phi|L_x^2|\phi>+<\phi|L_y^2|\phi>+<\phi|L_z^2|\phi>\)

• \(<\phi|L^2|\phi>=<\phi|L_x^2|\phi>+<\phi|L_y^2|\phi>+<\phi|L_z^2|\phi>\)

\(<\phi|\phi>=1\) का उपयोग करते हुए, और \(L\) और \(L_z\) के दिए गए मानों को रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

• \(6\hbar^2=<L_x^2>+<L_y^2>+4\hbar^2\)
• अब, \(<L_x^2>\)\(=<L_y^2>\)

हमें प्राप्त होता है, \(\frac {6\hbar^2-4\hbar^2} {2}=<L_x^2>\)

• \(<L_x^2>=\hbar^2\)

सही उत्तर \(<L_x^2>=\hbar^2\) है।