तीन कलशों A, B और C में क्रमशः 7 लाल, 5 काली, 5 लाल, 7 काली और 6 लाल, 6 काली गेंदें हैं। इनमें से एक कलश को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद काली है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कलश A से निकाली गई है?

अवधारणा:

मान लें कि E ₁ , E ₂ ,…, En _n एक प्रतिदर्श समष्टि S से जुड़ी घटनाओं का एक समूह है, जहाँ सभी घटनाओं E ₁ , E ₂ ,…, En _n के घटित होने की प्रायिकता शून्य नहीं है और वे S का एक विभाजन बनाते हैं। मान लें कि A, S से जुड़ी कोई घटना है, तो बेयस प्रमेय से,

P(Ei/A) = \({P(E_i)P(A|E_i)\over\sum_{k=1}^nP(E_k)P(A|E_k)}\)

स्पष्टीकरण:

मान लीजिए b: काली, r: लाल

\(\begin{matrix} A & B & C \\\ 7r, 5b & 5r, 7b & 6r, 6b \end{matrix}\)

किसी भी कलश का चयन करने के तरीके = P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

काली गेंद के कलश A से होने की प्रायिकता P(A/b) = \(5\over 12\) है।

काली गेंद के कलश B से होने की प्रायिकता P(B/b) = \(7\over 12\) है तथा

काली गेंद के कलश C से होने की प्रायिकता P(C/b) = \(6\over 12\) है।

कुल प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{7}{12}+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{12}\)

इसलिए अभीष्ट प्रायिकता

P(b|A) \(=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3}\cdot \left[ \frac{5}{12}+\frac{7}{12}+ \frac{6}{12}\right]}=\frac{5}{18}\)

विकल्प (2) सही है।