दो संकारक (ऑपरेटर) A तथा B, क्रम विनिमेय संबंधों [H, A] = -ℏωB तथा [H, B] = ℏωA, को संतुष्ट करते हैं जहां ω एक नियतांक है तथा H समूह का हैमिल्टनी है। यदि अवस्था में t = 0 समय पर ⟨A⟩ψ(0) = 0 तथा ⟨B⟩ψ(0) = i हों, तब प्रत्याशा मान है

व्याख्या:

आइए समीकरणों के निकाय पर पुनर्विचार करें:

और

पहले समीकरण को फिर से अवकलित करके,

• दूसरे समीकरण को इसमें प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है।
• यह अवकल समीकरण एक सरल आवर्त समीकरण है, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ: ω² के सामने कोई ऋणात्मक चिह्न नहीं है, जिससे अतिपरवलयिक हल प्राप्त होते हैं।
• विशेष रूप से, हमें किसी स्थिरांक C के लिए A(t) = Csinh(ωt) प्राप्त होता है।
• यह देखते हुए कि अपेक्षा मान t = 0 पर है, हमें प्राप्त होता है।
• इस प्रकार, सामान्य रूप से, B(t) को cosh(ωt) के रूप में होना चाहिए, ताकि क्रमविनिमेय संबंधों को पूरा किया जा सके। अंत में, यह देखते हुए कि हमें cosh(ωt) को i से गुणा करने की आवश्यकता है।
• इसलिए, समय-विकसित अपेक्षा मान है।