\(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \rm \dfrac{sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}dx\) किसके बराबर है?

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है, तो f(-x) = -f(x) है। 

निश्चित समाकल का गुण

यदि  f(x) सम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\) है। 

यदि f(x) विषम फलन है, तो \(\mathop \smallint \nolimits_{ - {\rm{a}}}^{\rm{a}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}} =0\) है। 

गणना:

माना कि I = \(\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \rm \dfrac{sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}dx\) है। 

माना कि f(x) = \(\rm \dfrac{sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}\) है। 

x को -x से प्रतिस्थापित करने पर, 

⇒ f(-x) = \(\rm \dfrac{sin^5 \ (-x) \ cos^3 \ (-x)}{(-x)^4}\)

चूँकि हम जानते हैं sin (-θ) = - sin θ और cos (-θ) = cos θ है। 

= \(\rm \dfrac{-sin^5 \ x \ cos^3 \ x}{x^4}\)

⇒ f(-x) = -f(x)      

इसलिए, f(x) विषम फलन है। 

अतः I = 0