x2 + y2 + 6x – 8y + 21 = 0 एक समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त का समीकरण है, तो त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण क्या है?

संकल्पना:

एक वृत्त के लिए सामान्य समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है, जहाँ (h, k) केंद्र है और r त्रिज्या है। 

दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी निम्न दी गयी है,

d = \(\sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2}{\rm{}} - {\rm{}}{{\rm{x}}_1}} \right)}^2}{\rm{}} + {\rm{}}{{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}}\)

गणना:

अंतःवृत्त का समीकरण x² + y² + 6x – 8y + 21 = 0

⇒ x² + 6x + 9 – 9 + y²– 8y + 16 – 16 + 21 = 0

⇒ (x² + 6x + 9) + (y²– 8y + 16) – 9 -16 + 21 = 0

⇒ (x + 3)² + (y - 4)² = 4

∴ केंद्र (h, k) = (-3, 4) और अंतःवृत्त की त्रिज्या = 2

आकृति से, sin 30° = OD/AO

⇒ AO = 2 × 2 = 4                               (∵ sin 30° = 1/2)

AQ परिवृत्त की त्रिज्या है। 

∴ परिवृत्त का समीकरण 

= (x + 3)² + (y - 4)² = (4)²

= x² + 6x + 9 + y²– 8y + 16 =16

⇒ x² + 6x + 9 + y²– 8y = 0

⇒ x² + y² + 6x – 8y + 9 = 0

अतः विकल्प (1) सही है।