দুটি চলরাশির রৈখিক সমীকরণ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 Variable - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

একটি স্ক্যানারের দাম একটি প্রিন্টারের দাম থেকে 7000 টাকা কম।

প্রিন্টারের দাম স্ক্যানারের দামের দ্বিগুণ।

গণনা:

ধরা যাক, স্ক্যানারের দাম x টাকা।

প্রিন্টারের দাম = 2x টাকা।

প্রশ্নানুসারে:

2x - x = 7000

⇒ x = 7000

∴ সঠিক উত্তরটি বিকল্প (3).

প্রদত্ত:

2টি টেবিল এবং 3টি চেয়ারের মূল্য ₹540।

2টি টেবিল এবং 1টি চেয়ারের মূল্য ₹470।

ব্যবহৃত সূত্র:

ধরা যাক, একটি টেবিলের মূল্য T এবং একটি চেয়ারের মূল্য C।

2T + 3C = 540

2T + 1C = 470

গণনা:

দ্বিতীয় সমীকরণকে প্রথম সমীকরণ থেকে বিয়োগ করলে:

⇒ (2T + 3C) - (2T + 1C) = 540 - 470

⇒ 2C = 70

⇒ C = 35

এখন, 35টি চেয়ারের মূল্য:

⇒ 35 × 35

⇒ ₹1225

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প (3) 

প্রদত্ত:

2টি টেবিল এবং 3টি চেয়ারের মূল্য 540 টাকা।

2টি টেবিল এবং 1টি চেয়ারের মূল্য 470 টাকা।

ব্যবহৃত সূত্র:

ধরা যাক, একটি টেবিলের মূল্য T এবং একটি চেয়ারের মূল্য C।

গণনা:

2T + 3C = 540 ......(1)

2T + 1C = 470 ......(2)

(2) নং সমীকরণ (1) নং সমীকরণ থেকে বাদ দিলে:

⇒ (2T + 3C) - (2T + 1C) = 540 - 470

⇒ 2C = 70 ⇒ C = 35

(2) নং সমীকরণে C এর মান বসালে:

⇒ 2T + 35 = 470

⇒ 2T = 470 - 35

⇒ T = 217.5

এখন, 2টি টেবিল এবং 2টি চেয়ারের মূল্য নির্ণয় কর:

⇒ 2T + 2C = 2 × 217.5 + 2 × 35

⇒ 2T + 2C = 435 + 70

⇒ 2T + 2C = 505

∴ সঠিক উত্তর হলো বিকল্প 1।

প্রদত্ত:

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল 45 এবং তাদের পার্থক্য 19।

ব্যবহৃত সূত্র:

ধরা যাক সংখ্যা দুটি x এবং y।

x + y = 45

x - y = 19

গণনা:

x + y = 45

x - y = 19

⇒ উভয় সমীকরণ যোগ করে:

(x + y) + (x - y) = 45 + 19

⇒ 2x = 64 ⇒ x = 32

⇒ x + y = 45 সমীকরণে x এর মান বসিয়ে:

32 + y = 45

⇒ y = 45 - 32 = 13

∴ সঠিক উত্তর হলো বিকল্প (1): 32, 13।

প্রদত্ত:

সমীকরণ জোড়া:

3x - 5y = 7

-6x + 10y = 7

ব্যবহৃত সূত্র:

এক জোড়া রৈখিক সমীকরণের সমাধানের প্রকৃতি নির্ণয় করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত শর্তাবলী ব্যবহার করতে পারি:

যদি \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) হয়, তাহলে মাধ্যমের অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে।

যদি \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) হয়, তাহলে মাধ্যমের কোন সমাধান নেই।

যদি \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) হয়, তাহলে মাধ্যমের একটি অনন্য সমাধান থাকে।

যেখানে, \(a_1x + b_1y = c_1\) এবং \(a_2x + b_2y = c_2\) সমীকরণগুলির জন্য

গণনা:

প্রদত্ত সমীকরণগুলি হল:

3x - 5y = 7

-6x + 10y = 7

এখানে, \(a_1 = 3 , b_1 = -5 ,c_1 = 7\)

এবং, \(a_2 = -6 , b_2 = 10 , c_2 = 7\)

এখন, আমরা অনুপাতগুলি পরীক্ষা করব:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}\)

\(\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}\)

\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{7} = 1\)

আমরা লক্ষ্য করি যে:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

⇒ সমীকরণগুলির মাধ্যমের কোন সমাধান নেই।

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (2)।

প্রদত্ত:

8k6 + 15k3 - 2 = 0

গণনা:

ধরি, k3 = x

সুতরাং, 8x² + 15x - 2 = 0

⇒ 8x2 + 16x - x - 2 = 0

⇒ 8x (x + 2) - 1 (x + 2) = 0

⇒ (8x - 1) (x + 2) = 0

⇒ 8x - 1 = 0 ⇒ x = 1/8

⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 [ঋণাত্মক মানের কারণে সম্ভব নয়]

এখন, k3 = 1/8

⇒ k = 1/2 ⇒ 1/k = 2

তাহলে, (k + 1/k) = (1/2 + 2) = 5/2 = \(2\frac{1}{2}\)

∴ (k + 1/k) এর মান হল \(2\frac{1}{2}\)

গণনা 

ধরা যাক, A এর কাছে থাকা টফির সংখ্যা x এবং B এর কাছে থাকা টফির সংখ্যা y 

A যদি B কে একটি টফি দেয়, তাহলে:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2.........(1)

এখন B যখন A কে একটি টফি দেয়, তখন A এর কাছে থাকা টফি B এর কাছে থাকা টফির দ্বিগুণ হয়:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1) ......(2)

সমীকরণ (1) এর মান সমীকরণ (2)-তে রাখা হল 

⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

y = 5 হলে x = 7

⇒ x + y = 12

A এবং B এর কাছে থাকা মোট টফির সংখ্যা 12 টি।

প্রদত্ত:

দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য = 5

যদি ক্ষুদ্রতর সংখ্যা থেকে 25 বিয়োগ করা হয় এবং বৃহত্তর সংখ্যার সাথে 20 যোগ করা হয় তবে অনুপাত = 1 : 2

গণনা:

ধরি বৃহত্তর সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতর সংখ্যা যথাক্রমে x এবং (x – 5)

এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী,

(x – 5 – 25) : (x + 20) = 1 : 2

⇒ (x – 30 )/(x + 20) = 1/2

⇒ 2x – 60= x + 20

⇒ x = 80

∴ বৃহত্তর সংখ্যা হল 80

গণনা -

1 টেবিলের দাম 'x' এবং 1 চেয়ারের দাম হবে 'y'

প্রদত্ত শর্ত অনুসারে

2x + 4y = 16,000 এবং x = 6y 

এখন , 2x + 4y = 16,000

⇒ 2(6y) + 4y = 16,000

⇒ 16y = 16,000

⇒ y = 1,000

∴ 9টি চেয়ারের দাম হবে 9y = 9,000

প্রদত্ত সমীকরণ হল x + 2y = 8 এবং 2x + 4y = 16 বা x + 2y = 8,

প্রদত্ত উভয় সমীকরণই হল এক বা সমান

মনেকরি, একটি পেন্সিল, কলম এবং ইরেজারের দাম যথাক্রমে x, y এবং z টাকা

প্রশ্ন অনুযায়ী,

8x + 5y + 3z = 111টাকা ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 টাকা ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 টাকা----(3)

সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে পাই,

⇒ (16x + 11y + 3z) - (8x + 5y + 3z) = 221 - 111

⇒ 8x + 6y = 110

⇒ 4x + 3y = 55 ----(4)

সমীকরণ (2) কে 3 এবং সমীকরণ (3) কে 5 দ্বারা গুণ করুন এবং তারপর (3) থেকে সমীকরণ (2) বিয়োগ করুন

⇒ (16x + 11y + 3z) × 5 - (9x + 6y + 5z) × 3 = 221 × 5 - 130 × 3

⇒ 80x + 55y + 15z - 27x - 18y - 15z = 1105 - 390

⇒ 53x + 37y = 715 ----(5)

সমীকরণ (4) কে 53 দ্বারা এবং সমীকরণ (5) কে 4 দ্বারা গুণ করুন এবং তারপর (5) থেকে সমীকরণ (4) বিয়োগ করুন

⇒ 212x + 159y - 212x - 148y = 2915 - 2860

⇒ 11y = 55

⇒ y = 5

সমীকরণ (4) এ y = 5 এর মান বসিয়ে 

⇒ 4x + 3 × 5 = 55

⇒ x = 10

সমীকরণ (1 এ y = 5 এবং x = 10 এর মান বসিয়ে 

⇒ 8 × 10 + 5 × 5 + 3z = 111

⇒ 80 + 25 + 3z = 111

⇒ z = 2

∴ 39টি পেন্সিল, 26টি কলম এবং 13টি ইরেজারের মূল্য 39x + 26y + 13z = 39 × 10 + 26 × 5 + 13 × 2 = 546 টাকা।

 Shortcut Trick

মনেকরি, 1 পেন্সিলের দাম = x, 1 কলমের দাম = y এবং একটি ইরেজারের দাম = z

তারপর, 8x + 5y + 3z = 111 ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 ----(3)

(1), (2) এবং (3) যোগ করলে আমরা পাই

33x + 22y + 11z = 462

⇒ 3x + 2y + z = 42

⇒ 39x + 26y + 13z = 546 (13 দিয়ে গুণ করে)

প্রদত্ত :

​যদি একটি বস্তুর দাম 4 টাকা কমানো হয়, তাহলে 288 টাকায় আরও 12টি বস্তু কেনা যাবে।

গণনা:

প্রতিটি বস্তুর আসল মূল্য ধরা যাক = y

বিক্রিত বস্তুর সংখ্যা = x

মোট মূল্য = xy = 288

⇒ x = 288/y --(i)

প্রতিটি বস্তুর নতুন মূল্য = y - 4

বিক্রি হওয়া নতুন বস্তুর সংখ্যা = x + 12

∴ প্রশ্ন অনুসারে,

⇒ (x + 12) (y - 4) = xy

⇒ xy - 4x + 12y - 48 = xy

⇒ 4x - 12y = - 48

(i) থেকে ,

⇒ 4(288/y) - 12y = - 48

⇒ 1152 - 12y² + 48y = 0

⇒ 12y² - 48y - 1152 = 0

⇒ y² - 4y - 96 = 0

⇒ (y - 12) (y + 8) = 0

⇒ y = 12, y = -8

যেহেতু মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না তাই y = -8 সম্ভব নয়।

∴ নতুন বস্তুর আসল মূল্য 12 টাকা।

Alternate Methodগণনা :

প্রশ্নানুযায়ী :

⇒ 288/(x - 4) - 288/x = 12

⇒ x - x + 4/(x - 4) x = 12/288

⇒ 4/(x - 4) x = 1/24

⇒ x (x - 4) = 96

তাই বিকল্প থেকে আমরা x এর মান বসাতে পারি।

যদি আমরা x = 12 রাখি

⇒ 12 × 8 = 96

⇒ 96 = 96 (সমীকরণটি সঠিক হয়)

∴ সঠিক উত্তরটি হল 12 টাকা

মনেকরি, প্রতিটি আইসক্রিম, বার্গার এবং নরম পানীয়ের মূল্য যথাক্রমে x, y এবং z টাকা 

3x + 2y + 4z = 128 ---- (i)

2x + y + 2z = 74 ---- (ii)

3 × (ii) এবং 2 × (i) গুণ করে, আমরা পাই

6x + 3y + 6z = 222 ----(iii)

6x + 4y + 8z = 256 ----(iv)

সমীকরণ (iv) থেকে সমীকরণ (iii) বিয়োগ করে পাই,

y + 2z = 34

উপরের সমীকরণটিকে 5 দ্বারা গুণ করে

আমরা পাই,

5 (y + 2z) = 5 × 34

5y + 10z = 170

⇒ সমীকরণের ঢাল সমান হলে তাদের কোনও সমাধান থাকে না

⇒ 1ম সমীকরণের ঢাল = - 14/8 = - 7/4

⇒ 2য় সমীকরণের ঢাল = 21/k

⇒ ফলে, 21/k = - 7/4

প্রদত্ত:

সমীকরণ পদ্ধতি:

2x + 3y = 5

4x + ky = 10

ধারণা:

সমীকরণ পদ্ধতি

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

অসীম সমাধানের জন্য,

\(\frac {a_1}{a_2}= \frac {b_1}{b_2}= \frac {c_1}{c_2}\)

গণনা:

সমীকরণ থেকে, এটা অনুমান করা যেতে পারে,

a1 = 2, b1 = 3, c1 = 5

a2 = 4, b2 = k, c2 = 10

অসীম সমাধানের জন্য, 2/4 = 3/k

⇒ k = 6

∴ k এর মান 6

Important Points

অনন্য সমাধানের জন্য,

\(\frac {a_1}{a_2}≠ \frac {b_1}{b_2}\)

অসামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধানের জন্য,

\(\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}≠ \frac {c_1}{c_2}\)