দ্বিঘাত সমীকরণ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

বীজদ্বয়ের যোগফল = 11/2

বীজদ্বয়ের গুণফল = 15/2

ব্যবহৃত সূত্র:

প্রদত্ত বীজ α এবং β বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ:

x² - (বীজদ্বয়ের যোগফল) x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0

গণনা:

নতুন বীজদ্বয় মূল বীজদ্বয়ের দ্বিগুণ, অর্থাৎ, 2α এবং 2β

নতুন বীজদ্বয়ের যোগফল = 2α + 2β = 2 × (11/2) = 11

নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল = (2α) × (2β) = 4 × (15/2) = 30

নতুন দ্বিঘাত সমীকরণ:

x² - (নতুন বীজদ্বয়ের যোগফল) x + (নতুন বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0

⇒ x² - 11x + 30 = 0

∴ প্রয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x² - 11x + 30 = 0.

প্রদত্ত:

এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করুন যাকে 17 দিয়ে বৃদ্ধি করলে সংখ্যাটির অন্যোন্যকের 60 গুণের সমান হয়।

অনুসৃত সূত্র:

ধরা যাক, সংখ্যাটি হল x

x + 17 = 60 x (1/x)

গণনা:

x + 17 = 60 x (1/x)

⇒ x + 17 = 60/x

⇒ x² + 17x = 60

⇒ x² + 17x - 60 = 0

⇒ (x - 3) (x + 20) = 0

⇒ x = 3 বা x = -20

যেহেতু আমাদের একটি ধনাত্মক সংখ্যা প্রয়োজন, সুতরাং, x = 3

∴ সঠিক উত্তর হলো বিকল্প 1

প্রদত্ত:

x² + 3x - 4 = 0 সমীকরণের বীজ a এবং b।

অনুসৃত সূত্র:

বীজের যোগফল a + b = \(-\frac{\text{x এর সহগ}}{\text{x² এর সহগ}} = -\frac{3}{1} = -3\)

বীজের গুণফল ab = \(\frac{\text{constant term}}{\text{coefficient of } x2} = \frac{-4}{1} = -4\)

আমাদের \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

গণনা:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} + (-4)\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} - \frac{16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3 - 16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{-13}{4}\)

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

প্রদত্ত:

দুটি সংখ্যার যোগফল = 15

তাদের অন্যোন্যকের যোগফল = 3/10

ব্যবহৃত সূত্র:

ধরা যাক দুটি সংখ্যা x এবং y

তাহলে, x + y = 15 ... (i)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}\)

\(\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}\) ... (ii)

গণনা:

(i) সমীকরণ থেকে আমরা পাই:

x + y = 15

(ii) সমীকরণ থেকে আমরা পাই:

\(\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}\)

⇒ 15 x 10 = 3xy

⇒ 150 = 3xy

⇒ xy = 50

দুটি সংখ্যা দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ:

t² - (x + y)t + xy = 0

t² - 15t + 50 = 0

এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে:

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 × 50}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm 5}{2}\)

t = 10 অথবা t = 5

অতএব, দুটি সংখ্যা হল 5 এবং 10.

ধারণা:

প্রদত্ত সমীকরণটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

ব্যাখ্যা:

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 3x - 4x + 12 = 0

x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 4) = 0

x = 3, 4

অতএব, α = 3, β = 4

অতএব, α2 + β2 = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

অতএব, সঠিক উত্তর 4 নং বিকল্প।

প্রদত্ত:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

অনুসৃত ধারণা:

যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (ax2 + bx + c=0)-এর মূলগুলি সমান হয়, তবে নিয়ামকটি শূন্য হবে, অর্থাৎ b2 – 4ac = 0

গণনা:

⇒ D = B² – 4AC = 0

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

প্রদত্ত :

x2 – x – 1 = 0

অনুসৃত সূত্র :

যদি প্রদত্ত সমীকরণটি হয়  ax2 + bx + c = 0

মূলগুলির যোগফল = -b/a

এবং মূলগুলির গুণফল = c/a

গণনা :

 যদি α এবং β  x2 – x – 1 = 0 এর মূল হয়, তবে

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

এখন, যদি (α/β) এবং (β/α) মূল হয়, তবে,

⇒ মূলগুলির যোগফল = (α/β) + (β/α)

⇒ মূলগুলির  যোগফল = (α2 + β2)/αβ

⇒ মূলগুলির যোগফল= [(α + β)2 – 2αβ]/αβ

⇒ মূলগুলির  যোগফল = (1)2 – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ মূলগুলির গুণফল = (α/β) × (β/α) = 1

এখন, সমীকরণটি হল-

⇒ x2 – (মূলগুলির  যোগফল) x + মূলগুলির  গুণফল= 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0

প্রদত্ত,

দুটি মূল হল 2 + √5 এবং 2 - √5

অনুসৃত ধারণা:

দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো 

x2 - (মূলের সমষ্টি)x + মূলের গুণফল = 0

গণনা:

ধরা যাক,  দুটি মূল হল A এবং B 

⇒ A = 2 + √5 এবং B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

তাহলে সমীকরণ হল 

∴ x 2 - 4x - 1 = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য ax2 + bx + c = 0

বর্গের যোগফল = (-b/a) = 4/1

বর্গ করে পাই  = c/a = -1/1

তাই, b = -4

সুতরাং x এর সহগটি ঋণাত্মক হবে। 

3x² + ax + 4 রাশিটি x – 5 দ্বারা পূর্ণরূপে বিভাজিত হলে,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

প্রদত্ত:

5x2 + 2x + Q = 2

প্রদত্ত, α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

ধারণা:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপটি বিবেচনা করি, ax² + bx + c =0

α এবং β হল উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল।

মূলের যোগফল হল:

α + β = − b/a = −(x এর সহগ/x² এর সহগ)

মূলের গুণফল হল:

α × β = c/a = (ধ্রুবক পদ / x² এর সহগ)

গণনা:

ধরা যাক, 5x² + 2x + Q -2 = 0 এর মূল α এবং β

সাধারণ সমীকরণ ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে = 0 a = 5, b = 2, c = Q - 2,

অনুসৃত ধারণা অনুযায়ী ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)

(i) এবং (ii) থেকে, আমরা (Q – 2)/5 = 1 পাই

∴ Q এর মান 7

সুতরাং, Q² = 7² = 49

⇒ 6x² + 3x² – 5x + 1

⇒ 9x² – 5x + 1

ধরি, a এবং b সমীকরণের দুটি মূল

আমরা জানি যে,

মূলগুলির যোগফল (α + β) = (-b)/a = 5/9

মূলগুলির গুণফল (αβ) = c/a = 1/9

প্রশ্ন অনুযায়ী

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

প্রদত্ত:

দ্বিঘাত সমীকরণ kx (x - 2) + 6 = 0 

অনুসৃত​ সূত্র:

b² = 4ac

গণনা:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx² – 2kx + 6 = 0

মূলগুলি সমান হওয়ায়,

⇒ b² = 4ac

⇒ (-2k)² = 4 × k × 6

⇒ 4k² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k এর মান হল 6

প্রদত্ত সমীকরণ,

⇒ ax2 + x + b = 0

যদি মূল সমান হয় তাহলে, b2 - 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

এখানে,

b = 1, a = a and c = b

তাহলে,

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

Given:

সমীকরণটির একটি বীজ \(5 - 2\sqrt 5 \)

Concept: 

যদি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ \(\left( {a + \sqrt b } \right)\) আকারে থাকে, তবে অন্য বীজটি অবশ্যই \(\left( {a - \sqrt b } \right)\) হবে এবং বিপরীতটিও সত্যি।

দ্বিঘাত সমীকরণ: x2 - (বীজগুলির সমষ্টি) + (বীজগুলির গুণফল) = 0

Calculation: 

ধরা যাক α = \(5 - 2\sqrt 5 \) এবং β = \(5 + 2\sqrt 5 \) 

বীজগুলির সমষ্টি = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

বীজগুলির গুণফল = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

এখন, দ্বিঘাত সমীকরণ = x2 - 10x + 5 = 0 

সুতরাং, প্রয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো x2 - 10x + 5 = 0

ধারণা:

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি দ্বারা সমীকরণটি সমাধান করা যায়, ফলে একটি মূলের মান সমীকরণটিতে বসিয়ে 

সমীকরণটির অজানা চলরাশি (ভ্যারিয়েবল) তথা অপর মূলের মানও জানা সম্ভব।

গণনা:

x2 – 12x + k = 0 সমীকরণে  x = 3 এই মানটি বসিয়ে পাই, 

⇒ 9 – 36 + k = 0

⇒ k = 27

k এর মান সমীকরণে বসিয়ে,

আমরা পাই,  x2 – 12x + 27 = 0

⇒ x2 – 9x – 3x + 27 = 0

⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0

⇒ (x – 3)(x – 9) = 0

⇒ x = 3 এবং 9

 ∴ সুতরাং সমীকরণের অন্য মূল টি হল  9।