వర్గ సమీకరణాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

17తో పెరిగినప్పుడు, ఆ సంఖ్య యొక్క వ్యుత్క్రమం యొక్క 60 రెట్లు సమానం అయ్యే ధనాత్మక సంఖ్యను కనుగొనండి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఆ సంఖ్యను x అనుకుందాం.

x + 17 = 60 x (1/x)

గణన:

x + 17 = 60 x (1/x)

⇒ x + 17 = 60/x

⇒ x² + 17x = 60

⇒ x² + 17x - 60 = 0

⇒ (x - 3) (x + 20) = 0

⇒ x = 3 లేదా x = -20

ధనాత్మక సంఖ్య అవసరం కాబట్టి, x = 3

∴ సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

x² + 3x - 4 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు a మరియు b.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

మూలాల మొత్తం a + b = \(-\frac{\text{coefficient of } x}{\text{coefficient of } x^2} = -\frac{3}{1} = -3\)

మూలాల లబ్ధం ab =\(\frac{\text{constant term}}{\text{coefficient of } x2} = \frac{-4}{1} = -4\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab\) విలువను కనుగొనాలి.

గణన:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} + (-4)\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} - \frac{16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3 - 16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{-13}{4}\)

సరైన సమాధానం ఎంపిక 4.

ఇవ్వబడింది:

రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 15

వాటి వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = 3/10

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు సంఖ్యలు x మరియు y అనుకుందాం.

అప్పుడు, x + y = 15 ... (i)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}\)

\(\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}\) ... (ii)

గణన:

సమీకరణం (i) నుండి, మనకు:

x + y = 15

సమీకరణం (ii) నుండి, మనకు:

\(\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}\)

⇒ 15 x 10 = 3xy

⇒ 150 = 3xy

⇒ xy = 50

రెండు సంఖ్యలు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు:

t² - (x + y)t + xy = 0

t² - 15t + 50 = 0

ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడం:

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 × 50}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm 5}{2}\)

t = 10 లేదా t = 5

కాబట్టి, రెండు సంఖ్యలు 5 మరియు 10.

సిద్ధాంతం:

ఇచ్చిన సమీకరణానికి కారణాంకాలను కనుగొనండి.

వివరణ:

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 3x - 4x + 12 = 0

x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 4) = 0

x = 3, 4

కాబట్టి, α = 3, β = 4

కాబట్టి, α2 + β2 విలువ = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

కాబట్టి, సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక  .

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణం: 2x + 9 = x² + p = 8x + 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సాధించడానికి, మనం ఎడమవైపు (LHS) ను కుడివైపు (RHS) తో సమానం చేసి, చరరాశిని కనుగొంటాము.

గణన:

మొదట, 2x + 9 ను 8x + 3 తో సమానం చేయండి:

2x + 9 = 8x + 3

⇒ 9 - 3 = 8x - 2x

⇒ 6 = 6x

⇒ x = 1

తరువాత, 2x + 9 లో x = 1 ను ప్రతిక్షేపించండి:

2(1) + 9 = 2 + 9 = 11

ఇప్పుడు, x² + p లో x = 1 ను ప్రతిక్షేపించండి:

1² + p = 1 + p

2x + 9, x² + p కి సమానం కావాలి కాబట్టి:

11 = 1 + p

⇒ p = 11 - 1

⇒ p = 10

'p' విలువ 10.

ఇచ్చినవి:

3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఒక వర్గ సమీకరణం (ax 2 + bx + c=0) సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వివక్షత సున్నాగా ఉండాలి అంటే b 2 – 4ac = 0

లెక్కింపు:

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

α మరియు β  x2 – x – 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాబట్టి, అపుడు

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ఇప్పుడు, (α / β) మరియు (β / α) మూలాలు అయితే,

⇒ మూలాల మొత్తం = (α/β) + (β/α) = (α2 + β2)/αβ = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ మూలాల లబ్దం = (α/β) × (β/α) = 1

ఇప్పుడు, అప్పుడు సమీకరణం,

⇒ x2 – (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం = 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0

ఇచ్చినది:

రెండు మూలాలు 2 + √5 మరియు 2 - √5.

ఉపయోగించిన భావన:

వర్గ సమీకరణం:

x2 - (మూలాల మొత్తం) x + మూలాల లబ్దం = 0

ఇచ్చినవి,

 2 + √5 మరియు 2 - √5 లు రెండు మూలాలు.

రెండు మూలాలు A మరియు B గా తీసుకొనుము.

⇒ A = 2 + √5 మరియు B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

కావాల్సిన వర్గ సమీకరణం,

x2 - (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం  = 0

∴ x2 - 4x - 1 = 0

వర్గ సమీకరణానికి, ax2 + bx + c = 0,

మూలాల మొత్తం = (-b/a) = 4/1

మూలాల లబ్దం = c/a = -1/1

అప్పుడు, b = -4

కావున, x యొక్క గుణకం రుణాత్మకం

3x² + ax + 4 అనేది x – 5 ద్వారా పూర్తిగా భాగించబడుతుంది,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

ఇచ్చిన:

5x2 + 2x + Q = 2

α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

భావన:

చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపాన్ని పరిశీలిద్దాం, ax2 + bx + c =0

పై వర్గ సమీకరణానికి α మరియు β రెండు మూలాలుగా ఉండనివ్వండి.

మూలాల మొత్తం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

α + β = - b/a = -(x యొక్క గుణకం/x² యొక్క గుణకం)

మూలాల ఉత్పత్తి దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

α × β = c/a = (స్థిరమైన పదం / x2 యొక్క గుణకం)

లెక్కింపు:

5x2 + 2x + Q -2 = 0 యొక్క మూలాలు α మరియు βగా ఉండనివ్వండి

సాధారణ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 a = 5, b = 2, c = Q - 2తో పోల్చండి

ఉపయోగించిన భావన ప్రకారం ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)

(i) మరియు (ii) నుండి, మనకు (Q – 2)/5 = 1 వస్తుంది

∴Q విలువ 7.

అందువల్ల, Q² = 7² = 49.

ఇచ్చినది:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం kx (x - 2) + 6 = 0

ఉపయోగించిన సూత్రం:

b² = 4ac

గణన:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx² – 2kx + 6 = 0

మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి

⇒ b² = 4ac

⇒ (-2k)² = 4 × k × 6

⇒ 4k² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k విలువ 6.

⇒ 6x2 + 3x2 – 5x + 1

⇒ 9x2 – 5x + 1

a మరియు b సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు అనుకొనుము

మనకు తెలిసినదాని ప్రకారం,

మూలాల మొత్తం (α + β) = (-b)/a = 5/9

మూలాల లబ్దం (αβ) = c/a = 1/9

ప్రశ్న 

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

ఇచ్చిన:

ఇవ్వబడిన సమీకరణం ax2 + x + b = 0

ఉపయోగించిన భావన:

వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపం ax2 + x + b = 0

మూలాల కోసం పరిస్థితి,

సమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2 – 4ac = 0

అసమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2– 4ac > 0

ఊహాత్మక మూలాల కోసం, b 2 – 4ac <0

లెక్కింపు:

సమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2 – 4ac = 0

⇒ b ² = 4ac

వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపంతో పోల్చిన తర్వాత మనం పొందుతాము

b = 1, a = a మరియు c = b

అప్పుడు, b 2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ సరైన సంబంధం ab = 1/4

ఇచ్చినవి:

సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం \(5 - 2\sqrt 5 \)

ఉద్దేశం:

వర్గ సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం \(\left( {a + \sqrt b } \right)\) ఈ రూపంలో ఉంటే, ఇతర మూలాలు తప్పనిసరిగా సంయోగం \(\left( {a - \sqrt b } \right)\) మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉండాలి.

వర్గ సమీకరణం: x² - (మూలం మొత్తం) + (మూలం యొక్క గుణాంకం) = 0

లెక్కింపు:

α = \(5 - 2\sqrt 5 \) మరియు β = \(5 + 2\sqrt 5 \) అనుకుందాం

మూలం మొత్తం = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

మూలం యొక్క గుణాకారం = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

ఇప్పుడు, వర్గ సమీకరణం = x² - 10x + 5 = 0 

అందువల్ల, అవసరమైన వర్గ సమీకరణం x² - 10x + 5 = 0

కాన్సెప్ట్:

వర్గమూలాల విలువలు ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అవి వర్గసమీకరణాన్నిసంతృప్తిపర్చాలి, అందుకని ఒక వర్గమూల విలువని ప్రతిక్షేపించి 

తెలియని విలువని, రెండవ వర్గమూలాన్ని కనుగొనవచ్చు.

లెక్క:

x = 3 విలువని సమీకరణం x² – 12x + k = 0లో ప్రతిక్షేపిద్దాం,

⇒ 9 – 36 + k = 0

⇒ k = 27

k యొక్క విలువని సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,

మనకి వస్తుంది: x² – 12x + 27 = 0

⇒ x² – 9x – 3x + 27 = 0

⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0

⇒ (x – 3)(x – 9) = 0

⇒ x = 3 మరియు 9

∴ సమీకరణం యొక్క రెండవ వర్గమూలం 9 అవుతుంది.