వర్గ సమీకరణాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

Last updated on May 26, 2025

పొందండి వర్గ సమీకరణాలు సమాధానాలు మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో బహుళ ఎంపిక ప్రశ్నలు (MCQ క్విజ్). వీటిని ఉచితంగా డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి వర్గ సమీకరణాలు MCQ క్విజ్ Pdf మరియు బ్యాంకింగ్, SSC, రైల్వే, UPSC, స్టేట్ PSC వంటి మీ రాబోయే పరీక్షల కోసం సిద్ధం చేయండి.

Latest Quadratic Equation MCQ Objective Questions

వర్గ సమీకరణాలు Question 1:

17తో పెరిగినప్పుడు, ఆ సంఖ్య యొక్క వ్యుత్క్రమం యొక్క 60 రెట్లు సమానం అయ్యే ధనాత్మక సంఖ్యను కనుగొనండి.

  1. 3
  2. 10
  3. 17
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Quadratic Equation Question 1 Detailed Solution

ఇవ్వబడింది:

17తో పెరిగినప్పుడు, ఆ సంఖ్య యొక్క వ్యుత్క్రమం యొక్క 60 రెట్లు సమానం అయ్యే ధనాత్మక సంఖ్యను కనుగొనండి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఆ సంఖ్యను x అనుకుందాం.

x + 17 = 60 x (1/x)

గణన:

x + 17 = 60 x (1/x)

⇒ x + 17 = 60/x

⇒ x2 + 17x = 60

⇒ x2 + 17x - 60 = 0

⇒ (x - 3) (x + 20) = 0

x = 3 లేదా x = -20

ధనాత్మక సంఖ్య అవసరం కాబట్టి, x = 3

∴ సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

వర్గ సమీకరణాలు Question 2:

x²+3x-4=0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు a మరియు b అయితే, 1/a+1/b+ab విలువను కనుగొనండి.

  1. -12/5
  2. 13/4
  3. 12/5
  4. -13/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -13/4

Quadratic Equation Question 2 Detailed Solution

ఇవ్వబడింది:

x2 + 3x - 4 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు a మరియు b.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

మూలాల మొత్తం a + b = \(-\frac{\text{coefficient of } x}{\text{coefficient of } x^2} = -\frac{3}{1} = -3\)

మూలాల లబ్ధం ab =\(\frac{\text{constant term}}{\text{coefficient of } x2} = \frac{-4}{1} = -4\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab\) విలువను కనుగొనాలి.

గణన:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} + (-4)\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3}{4} - \frac{16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{3 - 16}{4}\)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + ab = \frac{-13}{4}\)

సరైన సమాధానం ఎంపిక 4.

వర్గ సమీకరణాలు Question 3:

రెండు సంఖ్యల మొత్తం 15. వాటి వ్యుత్క్రమాల మొత్తం \(\frac{3}{10}\) అయితే, ఆ రెండు సంఖ్యలు కనుగొనండి?

  1. 6, 9
  2. -5, 20
  3. 7, 8
  4. 5, 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 5, 10

Quadratic Equation Question 3 Detailed Solution

ఇవ్వబడింది:

రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 15

వాటి వ్యుత్క్రమాల మొత్తం = 3/10

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు సంఖ్యలు x మరియు y అనుకుందాం.

అప్పుడు, x + y = 15 ... (i)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}\)

\(\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}\) ... (ii)

గణన:

సమీకరణం (i) నుండి, మనకు:

x + y = 15

సమీకరణం (ii) నుండి, మనకు:

\(\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}\)

⇒ 15 x 10 = 3xy

⇒ 150 = 3xy

⇒ xy = 50

రెండు సంఖ్యలు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు:

t2 - (x + y)t + xy = 0

t2 - 15t + 50 = 0

ఈ వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడం:

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 × 50}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}\)

t = \(\frac{15 \pm 5}{2}\)

t = 10 లేదా t = 5

కాబట్టి, రెండు సంఖ్యలు 5 మరియు 10.

వర్గ సమీకరణాలు Question 4:

x2 - 7x + 12 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు α, β అయితే, α2 + β2 విలువ:

  1. 14
  2. 19
  3. 24
  4. 25

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 25

Quadratic Equation Question 4 Detailed Solution

సిద్ధాంతం:

ఇచ్చిన సమీకరణానికి కారణాంకాలను కనుగొనండి.

వివరణ:

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 3x - 4x + 12 = 0

x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 4) = 0

x = 3, 4

కాబట్టి, α = 3, β = 4

కాబట్టి, α2 + β2 విలువ = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

కాబట్టి, సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక  .

వర్గ సమీకరణాలు Question 5:

2x + 9 = x2 + p = 8x + 3 అయితే, 'p' విలువను కనుగొనండి.

  1. 11
  2. 6
  3. 10
  4. 14

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 10

Quadratic Equation Question 5 Detailed Solution

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణం: 2x + 9 = x2 + p = 8x + 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సాధించడానికి, మనం ఎడమవైపు (LHS) ను కుడివైపు (RHS) తో సమానం చేసి, చరరాశిని కనుగొంటాము.

గణన:

మొదట, 2x + 9 ను 8x + 3 తో సమానం చేయండి:

2x + 9 = 8x + 3

⇒ 9 - 3 = 8x - 2x

⇒ 6 = 6x

⇒ x = 1

తరువాత, 2x + 9 లో x = 1 ను ప్రతిక్షేపించండి:

2(1) + 9 = 2 + 9 = 11

ఇప్పుడు, x2 + p లో x = 1 ను ప్రతిక్షేపించండి:

12 + p = 1 + p

2x + 9, x2 + p కి సమానం కావాలి కాబట్టి:

11 = 1 + p

⇒ p = 11 - 1

⇒ p = 10

'p' విలువ 10.

Top Quadratic Equation MCQ Objective Questions

3x 2 – ax + 6 = ax 2 + 2x + 2కి ఒకే ఒక (పునరావృతమైన) పరిష్కారం ఉంటే, అప్పుడు a యొక్క సానుకూల అభిన్న పరిష్కారం:

  1. 3
  2. 2
  3. 4
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Quadratic Equation Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చినవి:

3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

ఒక వర్గ సమీకరణం (ax 2 + bx + c=0) సమాన మూలాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వివక్షత సున్నాగా ఉండాలి అంటే b 2 – 4ac = 0

లెక్కింపు:

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

∴ a = 2 యొక్క సానుకూల సమగ్ర అభిన్నం

ఒకవేళ x2 – x – 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు α మరియు β అయితే, అపుడు ఏ సమీకరణానికి మూలాలు α/β మరియు β/α అవుతాయి:

  1. x2 + 3x – 1 = 0
  2. x2 + x – 1 = 0
  3. x2 – x + 1 = 0
  4. x2 + 3x + 1 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : x2 + 3x + 1 = 0

Quadratic Equation Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

α మరియు β  x2 – x – 1 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాబట్టి, అపుడు

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

ఇప్పుడు, (α / β) మరియు (β / α) మూలాలు అయితే,

⇒ మూలాల మొత్తం = (α/β) + (β/α) = (α2 + β2)/αβ = {(α + β)2 – 2αβ}/αβ = {(1)2 – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ మూలాల లబ్దం = (α/β) × (β/α) = 1

ఇప్పుడు, అప్పుడు సమీకరణం,

⇒ x2 – (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం = 0

⇒ x2 – (-3)x + (1) = 0

⇒ x2 + 3x + 1 = 0

 \(2 + \sqrt 5 \) మరియు \(2 - \sqrt 5\)  మూలాలతో ఏర్పడే వర్గ సమీకరణం ఏమిటి

  1. x2 - 4x - 1 = 0
  2. x2 + 4x - 1 = 0
  3. x2 - 4x + 1 = 0
  4. x2 + 4x + 1 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2 - 4x - 1 = 0

Quadratic Equation Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చినది:

రెండు మూలాలు 2 + √5 మరియు 2 - √5.

ఉపయోగించిన భావన:

వర్గ సమీకరణం:

x2 - (మూలాల మొత్తం) x + మూలాల లబ్దం = 0

ఇచ్చినవి,

 2 + √5 మరియు 2 - √5 లు రెండు మూలాలు.

రెండు మూలాలు A మరియు B గా తీసుకొనుము.

⇒ A = 2 + √5 మరియు B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

కావాల్సిన వర్గ సమీకరణం,

x2 - (మూలాల మొత్తం)x + మూలాల లబ్దం  = 0

∴ x2 - 4x - 1 = 0

F1 Shailesh 17.5.21-Pallavi D2 (1)

వర్గ సమీకరణానికి, ax2 + bx + c = 0,

మూలాల మొత్తం = (-b/a) = 4/1

మూలాల లబ్దం = c/a = -1/1

అప్పుడు, b = -4

కావున, x యొక్క గుణకం రుణాత్మకం

ఒకవేళ 3x2 + ax + 4 అనేది x – 5తో పూర్తిగా భాగించబడినట్లయితే, అప్పుడు a యొక్క విలువ:

  1. -12
  2. -5
  3. -15.8
  4. -15.6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -15.8

Quadratic Equation Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

3x2 + ax + 4 అనేది x – 5 ద్వారా పూర్తిగా భాగించబడుతుంది,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

∴ a = -15.8

5x2 + 2x + Q = 2 సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం మరొకదానికి పరస్పరం ఉంటుంది. Q2 విలువ ఎంత?

  1. 25
  2. 1
  3. 49
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 49

Quadratic Equation Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చిన:

5x2 + 2x + Q = 2

α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

భావన:

చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క ప్రామాణిక రూపాన్ని పరిశీలిద్దాం, ax2 + bx + c =0

పై వర్గ సమీకరణానికి α మరియు β రెండు మూలాలుగా ఉండనివ్వండి.

మూలాల మొత్తం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

α + β = - b/a = -(x యొక్క గుణకం/x2 యొక్క గుణకం)

మూలాల ఉత్పత్తి దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

α × β = c/a = (స్థిరమైన పదం / x2 యొక్క గుణకం)

లెక్కింపు:

5x2 + 2x + Q -2 = 0 యొక్క మూలాలు α మరియు βగా ఉండనివ్వండి

సాధారణ సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 a = 5, b = 2, c = Q - 2తో పోల్చండి

ఉపయోగించిన భావన ప్రకారం ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)

(i) మరియు (ii) నుండి, మనకు (Q – 2)/5 = 1 వస్తుంది

∴Q విలువ 7.

అందువల్ల, Q2 = 72 = 49.

6x2 + 3x2 – 5x + 1 అనే బహుపది మూలాల యొక్క విలోమాల మొత్తం ఎంత?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 5

Quadratic Equation Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

⇒ 6x2 + 3x2 – 5x + 1

⇒ 9x2 – 5x + 1

a మరియు b సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు అనుకొనుము

మనకు తెలిసినదాని ప్రకారం,

మూలాల మొత్తం (α + β) = (-b)/a = 5/9

మూలాల లబ్దం (αβ) = c/a = 1/9

ప్రశ్న 

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

⇒ [5/9] / [1/9] = 5

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం kx (x - 2) + 6 = 0 సమాన మూలాలను కలిగి ఉండే k విలువ కనుగొనండి?

  1. 6
  2. \(2\sqrt 6 \)
  3. \(3\sqrt 6 \)
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 6

Quadratic Equation Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చినది:

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం kx (x - 2) + 6 = 0

ఉపయోగించిన సూత్రం:

b2 = 4ac

గణన:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0

మూలాలు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి

⇒ b2 = 4ac

⇒ (-2k)2 = 4 × k × 6

⇒ 4k2 = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k విలువ 6.

ax2 + x + b = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలు సమానంగా ఉంటే

  1. b 2 = 4a
  2. b 2 < 4a
  3. b 2 > 4a
  4. ab = 1/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : ab = 1/4

Quadratic Equation Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చిన:

ఇవ్వబడిన సమీకరణం ax2 + x + b = 0

ఉపయోగించిన భావన:

వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపం ax2 + x + b = 0

మూలాల కోసం పరిస్థితి,

సమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2 – 4ac = 0

అసమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2– 4ac > 0

ఊహాత్మక మూలాల కోసం, b 2 – 4ac <0

లెక్కింపు:

సమాన మరియు నిజమైన మూలాల కోసం, b 2 – 4ac = 0

⇒ b 2 = 4ac

వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపంతో పోల్చిన తర్వాత మనం పొందుతాము

b = 1, a = a మరియు c = b

అప్పుడు, b 2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ సరైన సంబంధం ab = 1/4

 \(5 - 2\sqrt 5 \) మూలం కలిగి ఉన్న వర్గ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి

  1. x2 + 10x + 5 = 0
  2. x2 - 5x + 10 = 0
  3. x2 - 10x + 5 = 0
  4. x2 + 5x - 10 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x2 - 10x + 5 = 0

Quadratic Equation Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

ఇచ్చినవి:

సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం \(5 - 2\sqrt 5 \)

ఉద్దేశం:

వర్గ సమీకరణం యొక్క ఒక మూలం \(\left( {a + \sqrt b } \right)\) ఈ రూపంలో ఉంటే, ఇతర మూలాలు తప్పనిసరిగా సంయోగం \(\left( {a - \sqrt b } \right)\) మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉండాలి.

వర్గ సమీకరణం: x2 - (మూలం మొత్తం) + (మూలం యొక్క గుణాంకం) = 0

లెక్కింపు:

α = \(5 - 2\sqrt 5 \) మరియు β = \(5 + 2\sqrt 5 \) అనుకుందాం

మూలం మొత్తం = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

మూలం యొక్క గుణాకారం = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

ఇప్పుడు, వర్గ సమీకరణం = x2 - 10x + 5 = 0 

అందువల్ల, అవసరమైన వర్గ సమీకరణం x2 - 10x + 5 = 0

ఒక సమీకరణం x2 – 12x + k = 0 యొక్క ఒక వర్గమూలం x = 3 అవుతుంది. మరొక వర్గమూలం ఏమిటి:

  1. x = -4
  2. x = 9
  3. x = 4
  4. x = -9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : x = 9

Quadratic Equation Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

కాన్సెప్ట్:

వర్గమూలాల విలువలు ప్రతిక్షేపించినప్పుడు అవి వర్గసమీకరణాన్నిసంతృప్తిపర్చాలి, అందుకని ఒక వర్గమూల విలువని ప్రతిక్షేపించి 

తెలియని విలువని, రెండవ వర్గమూలాన్ని కనుగొనవచ్చు.

లెక్క:

x = 3 విలువని సమీకరణం x2 – 12x + k = 0లో ప్రతిక్షేపిద్దాం,

⇒ 9 – 36 + k = 0

⇒ k = 27

k యొక్క విలువని సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే,

మనకి వస్తుంది: x2 – 12x + 27 = 0

⇒ x2 – 9x – 3x + 27 = 0

⇒ x(x – 9) – 3 (x – 9) = 0

⇒ (x – 3)(x – 9) = 0

⇒ x = 3 మరియు 9

∴ సమీకరణం యొక్క రెండవ వర్గమూలం 9 అవుతుంది.

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti list teen patti master list teen patti master apk best