बुनियादी समस्याएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Basic Problems - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

∠C = 90° 

CD ⊥ AB

∠A = 65°

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° है।

गणना:

ΔABC में,

∠BAC + ∠CBA  + ∠ACB = 180°

⇒ 65° + 90° + ∠CBA  = 180°

⇒ ∠CBA  = 25°

Important Points

हम लम्बरूप के आधार पर भी हल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन यह अधिक समय लेता है। चूँकि ∠A और ∠C दिए गए हैं, उन्हें उन्हें सीधा अवधारणा में लागू कर और हल प्राप्त करना उचित है।

दिया गया है:

△ABC में, DE || AC

BD = 8 सेमी, AD = 7 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

मूल आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) द्वारा:

यदि DE || AC, तब

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात, संगत भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होता है।

क्षेत्रफलों का अनुपात = (BD / AB)²

गणना:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 सेमी

△BDE और △ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात = (8/15)² = 64/225

समलंब ADEC का क्षेत्रफल = △ABC का क्षेत्रफल - △BDE का क्षेत्रफल

अभीष्ट अनुपात:

क्षेत्रफल(△BDE) : क्षेत्रफल(ADEC)

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

∴ △BDE के क्षेत्रफल का समलंब ADEC के क्षेत्रफल से अनुपात 64 : 161 है।

दिया गया है:

ΔABC में, ∠A = 90°

BC = 10 सेमी

AC = 8 सेमी

BP = 9 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

ΔABP में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

\(AB^2 + AP^2 = BP^2\)

गणना:

ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

AB² + 8² = 10²

⇒ AB² + 64 = 100

⇒ AB² = 36

⇒ AB = 6 सेमी

ΔABP में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

6² + AP² = 9²

⇒ 36 + AP² = 81

⇒ AP² = 45

⇒ AP = √45

⇒ AP = 3√5 सेमी

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया:

एक समबाहु त्रिभुज ABC में, AD, BC पर लंब है।

गणना:

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा AB = a है।

AD2 = AB2 - BD2 

⇒ AD2 = a2 - (a/2)2 

⇒ AD2 = a2 - a2/4

⇒ AD2 = 3/4 a2

चूँकि, a = AB, इसलिए a² = AB²

⇒ AD2 = 3/4 AB2

⇒ 4AD2 = 3 AB2

⇒ 3 AB2 = 4 AD2

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

ΔABC ~ ΔPQR

PR = 5 सेमी और BC = 13 सेमी

अवधारणा:

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात बराबर होता है।

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी संगत भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं और उनके संगत कोण माप में समान होते हैं। 

गणना

चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इसलिए उनके संगत कोण और भुजाएँ हमेशा बराबर होंगी।

∴ AB की लंबाई 12 सेमी है।

दिया है:

ΔABC में, AB = 8 सेमी

BC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करने के लिए ∠A को आंतरिक रूप से समद्विभाजित किया जाता है।

AB = 8 सेमी, BD = 6 सेमी और DC = 7.5 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

एक त्रिभुज में, एक कोण का कोण समद्विभाजक कोण के विपरीत भुजा को शेष दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)

गणना:

AB = 8 सेमी है और BC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करने के लिए ∠A को आंतरिक रूप से समद्विभाजित किया जाता है,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

∴ AC = 10 सेमी

दिया है,

एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई 3 सेमी और 8 सेमी है और इसकी तीसरी भुजा की लंबाई x सेमी है।

जैसा कि हम जानते हैं,

त्रिभुज की दो भुजाओं का योग हमेशा त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक होता है।

∴ त्रिभुज की दो भुजाओं का योग > त्रिभुज की तीसरी भुजा।

⇒ 3 + 8 >  > तीसरी भुजा

⇒ 11 > x

इसके अलावा,

एक और स्थिति यह होगी,

⇒ x + 3 > 8

⇒ x > 8 - 3

⇒ x > 5

∴ 5 < x < 11

दिया है:

एक समकोण त्रिभुज की तीन भुजाएं (k – 4) सेमी, k और (k + 4) हैं।

सूत्र:

जैसा कि हम जानते हैं,

पाइथागोरस प्रमेय

(कर्ण)² = (लम्ब)² + (आधार)²

गणना:

प्रश्न के अनुसार

(k + 4)² = (k – 4)² + k²

⇒ k² + 16 + 8k = k² + 16 – 8k + k²

⇒ k² = 16k

⇒ k = 16

अवधारणा:

समरूप त्रिभुज:

समरूप त्रिभुज वे त्रिभुज होते हैं जिनका आकार समान होता है, लेकिन उनके माप भिन्न हो सकते हैं।

गुण:

• दोनों का आकार समान है लेकिन माप भिन्न हो सकते हैं।
• संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।
• संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है।

गणना:

ΔADE और ΔABC में

∠A उभयनिष्ट है

∠D = ∠B और ∠E = ∠C

∴ ΔADE ∼ ΔABC

समान त्रिभुज के गुण के अनुसार

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{{DE}}{{BC}}\\ \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

इसी प्रकार ΔDOE और ΔBOC में

∠DEO = ∠OBC (अनुरूप कोण समान हैं)

∠DOE = ∠BOC (लंबवत विपरीत कोण)

∴ ΔDEO ∼ ΔOBC

\(\begin{array}{l} \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{OC}}\\ \frac{{DO}}{{OC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

इसलिये, \(\frac{{DO}}{{DC}} = \frac{4}{{4 + 7}} = \frac{4}{{11}}\)

दिया गया है:

एक त्रिभुज की तीन भुजाएं क्रमशः 8 सेमी, 6 सेमी और 5 सेमी हैं।

अवधारणा:

P² + B² = H² (समकोण त्रिभुज के लिए)

P² + B² > H² (न्यून कोण त्रिभुज के लिए)

P² + B² < H² (अधिक कोण त्रिभुज के लिए)

गणना:

प्रश्न के अनुसार

8² > 6² + 5²

⇒ 64 > 36 + 25

⇒ 64 > 61

अतः त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है।

P2 + B2 = H2 (समकोण त्रिभुज के लिए)

P2 + B2 > H2 (न्यून कोण त्रिभुज के लिए)

P2 + B2 < H2 (अधिक कोण त्रिभुज के लिए)

जहाँ P, B और H त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, जिनमें H सबसे बड़ी भुजा है।

इसलिए, प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के लिए शर्तों में दिए गए मानों को रखते समय, हमें सावधानी बरतने की आवश्यकता है कि गलत स्थान पर गलत मान न डालें।

⇒ समद्विबाहु त्रिभुज का आधार BC है = 10 सेमी

⇒ समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई AD है = 10 × [6/5] = 12 सेमी

जैसा कि हम जानते हैं, D, BC का एक बिन्दु है

∴ BD = DC = [1/2] × BC = 5 सेमी

समकोणीय त्रिभुज BDA में

⇒ (BA)² = (BD)² + (AD)²

⇒ (BA)² = 5² + 12²

⇒ BA = 13 सेमी = AC        

⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = [1/2] × BC × AD = [1/2] × 10 × 12 = 60 सेमी²

⇒ ΔABC का अर्ध परिमाप = (13 + 13 + 10)/2 = 36/2 = 18 सेमी

जैसा कि हम जानते हैं,

दिया गया है:

त्रिभुज की दो भुजाएँ = 12.8 मीटर और 9.6 मीटर 

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

गणना:

माना संगत भुजा की ऊँचाई 12.8 मीटर = h 

1/2 × 9.6 × 12 = 1/2 × 12.8 × h

⇒ (9.6 × 12)/12.8 = h 

⇒ h = 9 मीटर 

∴ 12.8 मीटर लंबी भुजा के संगत त्रिभुज की ऊँचाई = 9 मीटर 

दिया हुआ:

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात = 5: 4: 3

त्रिभुज की परिधि = 84 सेमी

प्रयोग किया गया सूत्र:

त्रिभुज की परिधि = भुजाओं का योगफल

गणना:

माना कि त्रिभुज की भुजाएँ 5x, 4x और 3x इस प्रकार हैं कि इनका अनुपात 5: 4: 3 हो।

∴ 5x + 4x + 3x = 84

⇒ 12x = 84

⇒ x = 7 सेमी

इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ 35, 28 और 21 मीटर हैं।

∴ सबसे बड़ी भुजा की लंबाई 35 मीटर है।

दिया गया है:

भुजा a की लंबाई = 13 इंच

भुजा b की लंबाई = 15 इंच

भुजा c की लंबाई = 14 इंच

प्रयुक्त सूत्र:

हीरोन का सूत्र: त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\), जहाँ s त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।

हल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

सर्वप्रथम, हमें त्रिभुज के अर्ध-परिमाप की गणना करने की आवश्यकता है:

s = (a + b + c)/2

⇒ (13 + 15 + 14)/2

⇒ 21

आगे, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

क्षेत्रफल = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\)

⇒ \(√(21(21-13)(21-15)(21-14))\)

⇒  √(21(8)(6)(7))

⇒ √(2⁴ x 3² x 7²)

⇒ 84

अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग इंच है।

गणना:

निम्नलिखित आकृति पर विचार करते हैं:

MN || EF

⇒ ∆DMN, ∆DEF के समरूप है।

⇒ DM/DE= DN/DF = MN/EF

दिया गया है,

MN/EF = 2 ∶ 5 और DE = 60

⇒ 2/5 = DM/60

⇒ DM = 2 × 12 = 24 सेमी

∴ ME = DE - DM = 60 - 24 = 36 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।