अनुरूपता और समरूपता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Congruence and Similarity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

Δ ABC ~ Δ QPR

\(\frac{area \ of \ Δ ABC}{area \ of \ Δ PQR}=\frac{64}{25}\)

प्रयुक्त सूत्र:

समान त्रिभुजों में, क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

\(\frac{area \ of \ Δ ABC}{area \ of \ Δ PQR} = (\frac{corresponding \ side \ of \ Δ ABC}{corresponding \ side \ of \ Δ PQR})^2\)

गणना:

\(\frac{64}{25} = (\frac{AB}{QP})^2\)

⇒ \(\frac{64}{25} = (\frac{AB}{12})^2\)

⇒ \(\frac{64}{25} = \frac{AB^2}{144}\)

⇒ \(\frac{64}{25} × 144 = AB^2\)

⇒ \(\frac{64 × 144}{25} = AB^2\)

⇒ \(\frac{9216}{25} = AB^2\)

⇒ 368.64 = \(AB^2\)

⇒ AB = \(\sqrt{368.64}\)

⇒ AB = 19.2 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात = 5 : 7

प्रयुक्त सूत्र:

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

गणना:

माना कि संगत भुजाओं का अनुपात 5/7 है।

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)² $(\text{भुजाओं का अनुपात})^2$

⇒ (5/7)²

⇒ 25/49

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25 : 49 है।

दिया गया है:

ΔPOR में, भुजा PQ पर बिंदु X और भुजा PR पर बिंदु Y को मिलाने वाली रेखा QR के समानांतर है।

अनुपात PY ∶ YR = 3 ∶ 5 है।

PX की लंबाई = 7 सेमी।

प्रयुक्त सूत्र:

मूल आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, तो यह अन्य दो भुजाओं को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है।

गणनाएँ:

मान लीजिए PQ की लंबाई x सेमी है।

मूल आनुपातिकता प्रमेय के अनुसार,

\(\dfrac{PX}{XQ} = \dfrac{PY}{YR}\)

दिया गया है PY : YR = 3 : 5,

⇒ \(\dfrac{PX}{XQ} = \dfrac{3}{5}\)

मान लीजिए XQ = y सेमी,

⇒ \(\dfrac{7}{y} = \dfrac{3}{5}\)

⇒ 7 x 5 = 3 x y

⇒ 35 = 3y

⇒ y = \(\dfrac{35}{3} cm\)

इसलिए,

PQ = PX + XQ = 7 सेमी + \(\dfrac{35}{3} cm\)

⇒ PQ = \(\dfrac{21}{3} + \dfrac{35}{3}\)

⇒ PQ = \(\dfrac{56}{3} cm\)

⇒ PQ = 18.66 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

ΔABC ~ ΔQRP

QR = 8 सेमी

PR = 10 सेमी

PQ = 6 सेमी

क्षे०(ΔABC) : क्षे०(ΔQRP) = 1 : 4

प्रयुक्त सूत्र:

यदि ΔABC ~ ΔQRP है,

तो क्षे०(ΔABC) / क्षे०(ΔQRP) = (AB/QR)² = (BC/RP)² = (AC/QP)²

गणना:

क्षे०(ΔABC) / क्षे०(ΔQRP) = 1/4

(AB/QR)² = 1/4

⇒ (AB/8)² = 1/4

⇒ AB/8 = √(1/4)

⇒ AB/8 = 1/2

⇒ AB = 8/2

⇒ AB = 4 सेमी

∴ AB = 4 सेमी

दिया गया है:

ΔPQR में:

PQ = 5 सेमी, QR = 6 सेमी, PR = 7 सेमी

ΔXYZ में:

XY = 5 सेमी, YZ = 6 सेमी, XZ = 7 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम:

यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

गणना:

भुजाओं की लंबाई की तुलना:

PQ = XY = 5 सेमी

QR = YZ = 6 सेमी

PR = XZ = 7 सेमी

चूँकि सभी संगत भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए SSS सर्वांगसमता नियम से:

⇒ ΔPQR ≅ ΔXYZ

∴ सही कथन ΔPQR ≅ ΔXYZ है।

दिया गया है:

ΔPQR ∼ ΔDEF

Δ​PQR और ΔDEF की भुजाएं 5 ∶ 6 के अनुपात में हैं।

क्षेत्रफल(PQR) = 75 सेमी²

प्रयुक्त सूत्र:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

गणना:

ΔPQR ∼ ΔDEF

क्षेत्रफल(PQR)/क्षेत्रफल(DEF) = (ΔPQR की भुजा/ΔDEF की भुजा)²

⇒ 75/क्षेत्रफल(DEF) = (5/6)²

⇒ क्षेत्रफल(DEF) = 108 सेमी²

∴ ΔDEF का क्षेत्रफल 108 सेमी² के बराबर है।

दिया है:

 Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(\Delta ABC)}{ar(\Delta PQR)}=\frac{4}{9}\),

AC = 12 सेमी, AB = 18 सेमी और BC = 10 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

Δ ABC ∼ Δ QPR 

⇒ संबंधित क्षेत्रफलों का अनुपात = संबंधित भुजाओं के वर्ग का अनुपात

अर्थात, \(\rm \frac{ar(\Delta ABC)}{ar(\Delta QPR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

गणना:

⇒ 4/9 = (10)2/PR2

⇒ PR2 = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 सेमी

Mistake Points इस प्रश्न में, यह दिया गया है कि ΔABC, ΔQPR के समरूप है। इसको ΔPQR पढ़ने की गलती न करें।

Δ ABC ∼ Δ QPR, समानता नियम लागू करते समय यह संबंध मायने रखता है,

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 सेमी

कोण समद्विभाजक प्रमेय से,

तो, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 सेमी

दिया गया है,

चतुर्भुज MBCN का क्षेत्रफल = 130 सेमी².

AN : NC = 4 : 5

अतः, AC = 4 + 5 = 9

ΔABC में, यदि MN∥BC, तो

ΔAMN का क्षेत्रफल/ΔABC का क्षेत्रफल = (AN/AC)²

ΔAMN का क्षेत्रफल/ΔABC का क्षेत्रफल = (4/9)² = 16/81

ΔAMN का क्षेत्रफल = 16 इकाई और ΔABC का क्षेत्रफल = 81 इकाई

अब, चतुर्भुज MBCN का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल - ΔAMN का क्षेत्रफल

⇒ 81 - 16 इकाई = 130 सेमी²

⇒ 65 इकाई = 130 सेमी²

⇒ 1 इकाई = 130/65 = 2 सेमी²

दिया है

AD = 12 सेमी, CD = 16 सेमी

प्रयुक्त सूत्र

कोण द्विभाजक प्रमेय, 

AD/CD = AB/BC 

त्रिभुज का परिमाप = सभी भुजाओं का योग 

गणना

Δ ABC में BD, ∠B का कोण समद्विभाजक है

AD/CD = AB/BC 

⇒ 12/16 = AB/BC 

⇒ AB : BC = 3 : 4 

समकोण त्रिभुज के त्रिक से 

यदि AB = 3x और BC = 4x

तब AC = 5x 

AC = 12 + 16 = 28 सेमी

⇒ 5x = 28 सेमी

⇒ x = 5.6 सेमी

त्रिभुज का परिमाप = 5x + 3x + 4x = 12x

⇒ 67.2 सेमी

∴ अभीष्ट उत्तर 67.2 सेमी है।

दिया गया है:

DE = 9, EF = 12 सेमी, तथा DF = 7 सेमी

DO, ∠EDF का कोण समद्विभाजक है

प्रयुक्त अवधारणा:

एक त्रिभुज में, यदि AD, ∠BAC का कोण समद्विभाजक है जो विपरीत भुजा BC को D पर काटता है तो

कोण समद्विभाजक प्रमेय के द्वारा

AB/AC = BD/CD

गणना:

DE = 9, EF = 12 सेमी, तथा DF = 7 सेमी

DO, ∠EDF का कोण समद्विभाजक है

कोण समद्विभाजक प्रमेय के द्वारा,

DE/DF = EO/OF

⇒ 9/7 = (EF - OF)/OF

⇒ 9/7 = (12 - OF)/OF

⇒ 9 × OF = 84 - 7 × OF

⇒ 16 × OF = 84

⇒ OF = 84/16

⇒ OF = 5.25 सेमी

∴ OF का मान 5.25 सेमी हैI

दिया गया है :-

ΔABC और ΔPQR समरूप हैं।

AB = 8 सेमी

PQ = 12 सेमी

QR = 18 सेमी

RP = 24 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा :-

दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान हो और संगत कोणों के युग्म समान हों।

(1) AB/PQ = BC/QR = AC/PR

(2) कोण A = कोण P , कोण B = कोण Q , कोण C = कोण R

गणना :-

⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR

⇒ 8/12 = BC/18 = AC/24

⇒ BC = (18 x 8) /12 = 12 सेमी

और,

⇒ AC = (12 x 24) /18 = 16 सेमी

अब,

⇒ त्रिभुज ABC का परिमाप = AB + BC + AC = 8 + 12 + 16

⇒ त्रिभुज ABC का परिमाप = 36 सेमी

दिया है:

ΔABC का क्षेत्रफल = 44 सेमी2

BD = CD

AE = BE

प्रयुक्त अबधारणा:

किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसके आधे के बराबर होता है।

यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में होती हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते है।

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं के वर्गों के समानुपाती होता है।

गणना:

यदि D, BC का मध्य बिंदु है और E, AB का मध्य बिंदु है, तो

DE ∥ AC

मान लीजिए BC = 2 इकाई और BD = 1 इकाई

जैसा कि हम जानते हैं,

ΔBDE का क्षेत्रफल/ΔBCA का क्षेत्रफल = (BD/BC)²

⇒ ΔBDE का क्षेत्रफल/44 = (1/2)²

⇒ ΔBDE का क्षेत्रफल = (1/4) × 44 = 11 सेमी2

∴ ΔBDE का क्षेत्रफल 11 सेमी2 है।

दिया गया है:

∠AED = ∠BAC

AD || BC

AD : BC = 7 : 9

AC = 36 सेमी

अवधारणा:

त्रिभुज की समरूपता

गणना:

चूँकि ∠AED = ∠BAC 

∠EAD = ∠ACB (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

समरूपता का नियम AA (कोण-कोण)

∆EDA और ∆ABC  समरूप हैं।

अब,

AD/BC = AE/AC

⇒ 7/9 = AE/36

⇒ AE = 28 सेमी

अब,

EC = AC – AE = 36 – 28 = 8 सेमी

दिया गया है:

एक ΔABC में, ∠BAC = 90°, AD, A से BC पर खींचा गया लंब है

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुजों की समरूपता

गणना:

चूंकि AD⊥BC, ΔBAC ~ ΔBDA

इसलिए, हम जानते हैं,​

BC/AB = AB/BD

⇒ BC × BD = AB² 

⇒ BC : AB :: AB : BD

∴ BD और BC का मध्यानुपाती AB है।