त्रिभुज, सर्वांगसमता और समानता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangles, Congruence and Similarity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

∠C = 90° 

CD ⊥ AB

∠A = 65°

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° है।

गणना:

ΔABC में,

∠BAC + ∠CBA  + ∠ACB = 180°

⇒ 65° + 90° + ∠CBA  = 180°

⇒ ∠CBA  = 25°

Important Points

हम लम्बरूप के आधार पर भी हल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन यह अधिक समय लेता है। चूँकि ∠A और ∠C दिए गए हैं, उन्हें उन्हें सीधा अवधारणा में लागू कर और हल प्राप्त करना उचित है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में:

बिंदु D और E क्रमशः AB और AC पर स्थित हैं

DE ∥ BC

AD = 6 सेमी, DB = 4 सेमी ⇒ AB = AD + DB = 10 सेमी

AE = 9 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

मूल आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) द्वारा:

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो यह उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

प्रयुक्त सूत्र:

AD / DB = AE / EC

गणना:

6 / 4 = 9 / EC

⇒ 3 / 2 = 9 / EC

⇒ EC = (2 x 9) ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6 सेमी

∴ EC की लंबाई 6 सेमी है

दिया गया है:

यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 1 ∶ 3 है

प्रयुक्त सूत्र:

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)²

गणना:

क्षेत्रफलों का अनुपात = (1 ∶ 3)²

⇒ क्षेत्रफलों का अनुपात = 1² ∶ 3²

⇒ क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 ∶ 9

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

Δ ABC ~ Δ QPR

\(\frac{area \ of \ Δ ABC}{area \ of \ Δ PQR}=\frac{64}{25}\)

प्रयुक्त सूत्र:

समान त्रिभुजों में, क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

\(\frac{area \ of \ Δ ABC}{area \ of \ Δ PQR} = (\frac{corresponding \ side \ of \ Δ ABC}{corresponding \ side \ of \ Δ PQR})^2\)

गणना:

\(\frac{64}{25} = (\frac{AB}{QP})^2\)

⇒ \(\frac{64}{25} = (\frac{AB}{12})^2\)

⇒ \(\frac{64}{25} = \frac{AB^2}{144}\)

⇒ \(\frac{64}{25} × 144 = AB^2\)

⇒ \(\frac{64 × 144}{25} = AB^2\)

⇒ \(\frac{9216}{25} = AB^2\)

⇒ 368.64 = \(AB^2\)

⇒ AB = \(\sqrt{368.64}\)

⇒ AB = 19.2 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात = 5 : 7

प्रयुक्त सूत्र:

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

गणना:

माना कि संगत भुजाओं का अनुपात 5/7 है।

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)² $(\text{भुजाओं का अनुपात})^2$

⇒ (5/7)²

⇒ 25/49

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25 : 49 है।

दिया है:

ABC एक समकोण त्रिभुज है। इसमें एक वृत्त समाहित है।

समकोण वाली दो भुजाओं की लंबाई 10 सेमी और 24 सेमी है

गणना:

कर्ण² = 10² + 24²    (पाइथागोरस प्रमेय)

कर्ण = √676 = 26

एक त्रिभुज के अंदर वाले वृत्त की त्रिज्या (अन्तःवृत्त) = (समकोण वाली भुजाओं का योग – कर्ण)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ सही विकल्प विकल्प 4 है।

दिया गया है:

ΔABC ~ ΔPQR

ΔABC का क्षेत्रफल = 64 सेमी²

ΔPQR का क्षेत्रफल = 81 सेमी2

PT = 10.8 सेमी 

AD, ΔABC की माध्यिका है।

PT, ΔPQR की माध्यिका है।

अवधारणा: 

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं और माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

\(\text{Area of (ΔABC)}\over{\text{Area of (ΔPQR)}}\) = \(({AD\over PT})^2\)

गणना:

\(\text{Area of (ΔABC)}\over{\text{Area of (ΔPQR)}}\) = \(({AD\over PT})^2\)

⇒ \(64\over81\) = \(({AD\over PT})^2\) 

⇒​ \(AD\over PT\) = \(\sqrt{64\over81}\) = \(8\over9\)

⇒​ \(AD\over 10.8\) = \(8\over9\)

⇒​ AD = \({8\times10.8}\over9\) = 9.6 सेमी

∴ AD = 9.6 सेमी 

दिया गया है:

ΔPQR ∼ ΔDEF

Δ​PQR और ΔDEF की भुजाएं 5 ∶ 6 के अनुपात में हैं।

क्षेत्रफल(PQR) = 75 सेमी²

प्रयुक्त सूत्र:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

गणना:

ΔPQR ∼ ΔDEF

क्षेत्रफल(PQR)/क्षेत्रफल(DEF) = (ΔPQR की भुजा/ΔDEF की भुजा)²

⇒ 75/क्षेत्रफल(DEF) = (5/6)²

⇒ क्षेत्रफल(DEF) = 108 सेमी²

∴ ΔDEF का क्षेत्रफल 108 सेमी² के बराबर है।

दिया गया है:

AB (c)  = 7 सेमी, CA (b) = 5√2 सेमी, BC = a 

E और F, AC और AB के मध्य-बिंदु हैं।

∠A = 135°

अवधारणा:

कोसाइन नियम द्वारा

Cos A = (b2 + c2 - a2)/ 2bc

मध्य-बिंदु प्रमेय

EF = BC/2

गणना:

कोसाइन नियम के अनुसार

\(cos135^0= \frac{(5\sqrt2)^2 + (7)^2 - (a)^2}{2\times7\times5\sqrt2}\)

⇒ \(\frac{-1}{\sqrt2}= \frac{(5\sqrt2)^2 + (7)^2 - (a)^2}{2\times7\times5\sqrt2}\)

⇒ \(-70= 50 + 49 - a^2 \)

⇒ a² = 169

⇒ a = 13, a ≠ - 13

⇒ BC = 13

प्रयुक्त सूत्र से

EF = BC/2 = 13/2 cm 

∴ EF = 6.5 cm

दिया गया है:

ΔABC में, O लंबकेंद्र है और I अंतःकेंद्र है,

यदि ∠BIC - ∠BOC = 90∘ है,

प्रयुक्त सूत्र:

(1) ΔABC में, I अंतःकेंद्र है,

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C

(2) ΔABC में, O लंबकेंद्र है,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

गणना:

प्रश्न के अनुसार, अभीष्ट आकृति है:

चूंकि हम जानते हैं,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A    ----(2)

अब, समीकरण (1) को (2) में से घटाने पर,

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A - 90∘

⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ अभीष्ट उत्तर 120∘ है।

Additional Information

(1) अंतःकेंद्र - यह त्रिभुज के तीनों कोणार्धों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

(1.1) कोणार्ध कोण को दो बराबर आधे में काटता है।

(2) लंबकेंद्र - यह शीर्षलंब से त्रिभुज के सम्मुख भुजा पर खींचे गए सभी तीन शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

(2.1) एक त्रिभुज का शीर्षलंब सम्मुख भुजा के लंबवत होता है।

दिया है:

ΔABC में, AB = 8 सेमी

BC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करने के लिए ∠A को आंतरिक रूप से समद्विभाजित किया जाता है।

AB = 8 सेमी, BD = 6 सेमी और DC = 7.5 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

एक त्रिभुज में, एक कोण का कोण समद्विभाजक कोण के विपरीत भुजा को शेष दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)

गणना:

AB = 8 सेमी है और BC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करने के लिए ∠A को आंतरिक रूप से समद्विभाजित किया जाता है,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

∴ AC = 10 सेमी

दिया गया है:

ΔPQR में,

PQ = 12 सेमी, QR = 16 सेमी तथा PR = 20 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

a, b और c त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाते हैं और A त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाता है,

तो परित्रिज्या (r) की माप है,

r = [abc/4A]

यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्ग के योग के बराबर है, तो सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।

कर्ण2 = लम्ब2 + आधार2 

गणना:

यहाँ, हम देख सकते हैं कि

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

इसलिए, ΔPQR समकोण त्रिभुज हैI

ΔPQR का क्षेत्रफल = (½ ) × आधार × लम्ब

⇒ ΔPQR का क्षेत्रफल = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR का क्षेत्रफल = 96 सेमी2

परित्रिज्या (r) = [abc/4 × क्षेत्रफल] 

परित्रिज्या (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96]  = 10 सेमी

∴ त्रिभुज की परित्रिज्या 10 सेमी हैI

समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेन्द्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। एक त्रिभुज के सभी शीर्ष परिकेन्द्र से समान दूरी पर होते हैं।

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 सेमी

∴ त्रिभुज की परित्रिज्या 10 सेमी हैI

दिया है:

 Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(\Delta ABC)}{ar(\Delta PQR)}=\frac{4}{9}\),

AC = 12 सेमी, AB = 18 सेमी और BC = 10 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

Δ ABC ∼ Δ QPR 

⇒ संबंधित क्षेत्रफलों का अनुपात = संबंधित भुजाओं के वर्ग का अनुपात

अर्थात, \(\rm \frac{ar(\Delta ABC)}{ar(\Delta QPR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

गणना:

⇒ 4/9 = (10)2/PR2

⇒ PR2 = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 सेमी

Mistake Points इस प्रश्न में, यह दिया गया है कि ΔABC, ΔQPR के समरूप है। इसको ΔPQR पढ़ने की गलती न करें।

Δ ABC ∼ Δ QPR, समानता नियम लागू करते समय यह संबंध मायने रखता है,

दिया गया है:

AB : AC = 5 : 2

BC = 9 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

बाह्य कोण समद्विभाजक प्रमेय द्वारा,

AB/AC = BE/CE

गणना:

दिए गए प्रश्न के अनुसार

AB/AC = BE/CE (बाह्य कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग करके)

⇒ 5/2 = (9 + CE)/CE

⇒ 5CE = 18 + 2CE

⇒ 3CE = 18

⇒ CE = 6 सेमी

∴ CE की लंबाई 6 सेमी है।

Additional Informationकोण समद्विभाजक प्रमेय - त्रिभुज के किसी कोण का बाह्य समद्विभाजक विपरीत भुजा को कोण वाली भुजाओं के अनुपात में बाहरी रूप से विभाजित करता है।

दिया गया है,

चतुर्भुज MBCN का क्षेत्रफल = 130 सेमी².

AN : NC = 4 : 5

अतः, AC = 4 + 5 = 9

ΔABC में, यदि MN∥BC, तो

ΔAMN का क्षेत्रफल/ΔABC का क्षेत्रफल = (AN/AC)²

ΔAMN का क्षेत्रफल/ΔABC का क्षेत्रफल = (4/9)² = 16/81

ΔAMN का क्षेत्रफल = 16 इकाई और ΔABC का क्षेत्रफल = 81 इकाई

अब, चतुर्भुज MBCN का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल - ΔAMN का क्षेत्रफल

⇒ 81 - 16 इकाई = 130 सेमी²

⇒ 65 इकाई = 130 सेमी²

⇒ 1 इकाई = 130/65 = 2 सेमी²