Rotational Inertia MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rotational Inertia - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही विकल्प: (3) 7 / 57 है। 

व्यास Y-अक्ष के परितः एक बड़े ठोस गोले के लिए:

I_{पूर्ण} = (2 / 5) × M × (2R)² = (8 / 5) × M × R²

गोले का घनत्व एकसमान है:

M / V_{पूर्ण} = M_छोटा / V_छोटा

M / ((4/3)π(2R)³) = M′ / ((4/3)πR³)

⇒ M′ = M / 8

छोटे गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर:

I′ = I_cm + M′ × R² = (2 / 5) × (M / 8) × R² + (M / 8) × R² = (7 / 40) × M × R²

अनुपात:

अनुपात = I_छोटा / I_शेष = I′ / (I_{पूर्ण} − I′)

= ((7 / 40) × M × R²) / (((8 / 5) − (7 / 40)) × M × R²)

= 7 / 57

गणना:
स्थिति I: mR²/2 ω₀ = (mR²/2 + mR²/4 + mR²/4) ω ω = ω₀/2 = 3 rad/s

स्थिति II: ω = ω₀ = 6 rad/s

स्थिति III: mR²/2 ω₀ + mvR²/2 = (mR²)ω इसलिए, 3 + 8/2 = 7 rad/s

स्थिति IV: mR²/2 ω₀ + mvR²(1/2) = mR²ω 3 + 8/4 = 5 rad/s

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय के जड़त्व आघूर्ण को निकाय बनाने वाले कणों के द्रव्यमान के गुणनफल का योग एवं घूर्णन अक्ष से उनकी संबंधित दूरियों के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• एक कण का जड़त्व आघूर्ण है

I = mr2

जहां r = घूर्णी अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों से निर्मित निकाय का जड़त्व आघूर्ण (असतत वितरण)

I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

व्याख्या:

• इसके व्यास के ओर द्रव्यमान 'M' और त्रिज्या 'R' के ठोस गोले का जड़त्वाघूर्ण है

\(⇒ I_s =\frac{2}{5}MR^2=0.4MR^2\) ----- (1)

• इसके व्यास के ओर द्रव्यमान 'M' और त्रिज्या 'R2' के एक खोखले गोले का जड़त्वाघूर्ण है

\(⇒ I_h =\frac{2}{3}MR^2=0.67MR^2\) ----- (2)

• ऊपर दो समीकरण से, यह स्पष्ट है कि एक खोखले गोले का जड़त्वाघूर्ण एक ठोस गोले की तुलना में अधिक है। इसलिए विकल्प 4 सही है।

स्पष्टीकरण:

जड़त्वाघूर्ण: 

जड़त्वाघूर्ण घूर्णी गति में ठीक वही भूमिका निभाता है जो भूमिका रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है। यह निकाय का एक गुण है जिसके कारण यह अपने विरामावस्था में या एक समान घूर्णन की अवस्था में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।

एक कण का जड़त्वाघूर्ण निम्न है

I = mr2

जहां r = घूर्णी अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

लंबवत अक्षों की प्रमेय:

यह प्रमेय बताता है कि अपने तल के लंबवत अक्ष के अनुरूप एक समतल पटल का जड़त्व आघूर्ण दो परस्पर लंबवत अक्षों के अनुरूप जड़त्व आघूर्ण योग के बराबर है, जो लंबवत अक्ष के समवर्ती है और निकाय के तल में है।

इसलिए इसे \({I_z} = {I_y} + {I_x}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

यहाँ Ix, Iy और Iz क्रमशः X, Y और Z- अक्ष के साथ किसी वस्तु का जड़त्वाघूर्ण है|

The moment of inertia of a circular disc about diameter (Ix and Iy):

\(I_x=I_y=\frac{MR^2}{4}=I\)

\({I_z} = {I_y} + {I_x}\)

\({I_z} =\frac{MR^2}{4}+\frac{MR^2}{4}=\frac{MR^2}{2}=2I\)

Additional Information

यह घूर्णन के विभिन्न अक्ष के ओर वृत्ताकार डिस्क का जड़त्वाघूर्ण हैI

गणना:
द्रव्यमान M और लंबाई L वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके मध्यबिंदु से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण I₀ है। छड़ के एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण को समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जाता है।

समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, छड़ के एक सिरे से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:

I = I0 + M × (L/2)2

I₀ (केन्द्र से होकर गुजरने वाला जड़त्व आघूर्ण) का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

I = I0 + M × L2/4

अतः सही उत्तर विकल्प 2: I₀ + M × L² /4 है। 

अवधारणा:

• किसी अक्ष के अनुरूप घूमने वाले कण के कोणीय संवेग को उस अक्ष के कण के रैखिक संवेग के आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह रैखिक संवेग और घूर्णन अक्ष से इसकी क्रिया की लंबवत दूरी के गुणनफल रूप में मापा जाता है।
• कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण के बीच का संबंध इस प्रकार है-

L = Iω

जहां I = जड़त्व आघूर्ण , L= कोणीय संवेग, और ω = कोणीय वेग।

व्याख्या:

• यदि प्रणाली पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है तो प्रणाली का प्रारंभिक कोणीय संवेग ((L_initial)) अंतिम संवेग (L_final) के बराबर होगा ।
• इसलिए एक संवृत प्रणाली का संवेग संरक्षित रहेगा।

∴ Iω = नियतांक

⇒ I ∝ 1/ω

अर्थात जड़त्व आघूर्ण कोणीय वेग के विलोम आनुपातिक है।

• इसलिए यदि एक घूर्णन पिंड का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है तो कोणीय वेग कम हो जाता है।

धारणा:

बलाघूर्ण (τ): 

• यह व्यावर्तन बल है जो घूर्णन का कारण बनता है।
• वह बिंदु जहाँ वस्तु घूमती है घूर्णन के अक्ष के रूप में जानी जाती है।
• गणितीय रूप से इसे इसप्रकार लिखा जाता है,

τ = rFsin θ 

• कोणीय त्वरण (α): इसे एक कण के कोणीय वेग के परिवर्तन की समय दर के रूप में परिभाषित किया गया है।
• यदि Δω कोणीय वेग समय Δt में परिवर्तन है तो औसत त्वरण है

\(\vec α = \frac{{{\rm{\Delta }}\omega }}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

व्याख्या:

• बल आघूर्ण किसी वस्तु पर बल लगाने की मात्रा का माप है जो उसे घुमाने का कारण बना सकती है।
• कोणीय त्वरण का उत्पादन करने के लिए आवश्यक बल आघूर्ण उस वस्तु के द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है जिसे जड़त्त्वाघूर्ण द्वारा वर्णित किया जाता है।
• इसलिए बल आघूर्ण (\(\tau \)) कोणीय त्वरण (a) और जड़त्त्वाघूर्ण (I) का गुणनफल है। अतः विकल्प 2 सही है।

           \(\tau = I \times a\)

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

संकल्पना:

जड़त्वाघूर्ण

• जड़त्वाघूर्ण घूर्णी गति में ठीक वही भूमिका निभाता है जो भूमिका रैखिक गति में द्रव्यमान निभाता है। यह निकाय का एक गुण है जिसके कारण यह अपने विरामावस्था में या एक समान घूर्णन की अवस्था में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।

• एक कण का जड़त्वाघूर्ण है

I = mr2

• नगण्य मोटाई वाले एकसमान रॉड के लिए द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\({I_{cm}} = \frac{1}{{12}}M{L^2}\)

जहां M = छड का द्रव्यमान

L = छड की लंबाई

r = घूर्णी अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

व्याख्या:

उपरोक्त स्पष्टीकरण से, हम देख सकते हैं कि

• छड़ का जड़त्वाघूर्ण जब अक्ष इसके लंबवत होता है और इसके केंद्र से गुज़रता है 

​\(I_c= \;\frac{{M{L^2}}}{{12}}\)

अवधारणा:

समानांतर अक्ष प्रमेय: किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण I निकाय के जड़त्वाघूर्णों के योग के बराबर है जो दिए गए अक्ष के समानांतर है और निकाय के द्रव्यमान के केंद्र से गुजर रहा है Io और Ma2, जहां M निकाय का द्रव्यमान है और 'a' दो अक्षों के बीच की दूरी है।

⇒ I = Io + Ma2

व्याख्या:

• नगण्य मोटाई वाले एकसमान रॉड के लिए द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\({I_{cm}} = \frac{1}{{12}}M{L^2}\)

जहां M = रॉड का द्रव्यमान और L = रॉड की लंबाई

∴ रॉड के छोर के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण है

\(\Rightarrow {I_{end}} = {I_{cm}} + M{d^2} \)

\(\Rightarrow I_{end}= \frac{1}{{12}}M{L^2} + M{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3}M{L^2}\)

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।
• एक कण का जड़त्व आघूर्ण है-

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी 

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण है-

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

व्याख्या:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2} = 0.5M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर ठोस गोले का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{sphere}} = \frac{2}{5}M{R^2} = 0.4M{R^2}\)

• तो ऊपर से यह स्पष्ट है कि डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण ठोस गोले के जड़त्त्वाघूर्ण से अधिक है।

अवधारणा:

• जड़त्व आघूर्ण: कोणीय त्वरण का विरोध करने के लिए निकाय की प्रवृत्ति को व्यक्त करने वाली मात्रा को जड़त्व आघूर्ण कहा जाता है।
• बिंदु द्रव्यमान के लिए जडत्व आघूर्ण द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष की लम्बवत दूरी के वर्ग के गुणनफल के बराबर है।

I = m × r​2 

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, m बिंदु द्रव्यमान है, r घूर्णन अक्ष की लम्बवत दूरी है।

• एक कठोर निकाय प्रणाली के लिए, जड़त्व आघूर्ण समान अक्ष के अनुरूप लिए गये सभी कणों के जड़त्व आघूर्ण का योग है।

\(I=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}\)

जहां I जड़त्व आघूर्ण है, m बिंदु द्रव्यमान है, r घूर्णन अक्ष की लम्बवत दूरी है।

व्याख्या:

• यदि द्रव्यमान अक्ष से एक बड़ी दूरी पर स्थित है तो जड़त्व आघूर्ण अधिक होगा क्योंकि घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान कणों की दूरी अधिक हो जाएगी ।
• चूंकि द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक दूरी पर है, इसलिए प्रभावी त्रिज्या बड़ी होगी।
• यही कारण है कि जडत्व आघूर्ण (\(I=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}\)) बड़ा हो जाएगा ।
• इसलिए सही उत्तर विकल्प 2 है।

ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण:

किसी क्षेत्र के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण को ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण के रूप में जाना जाता है।

माना कि Oz केंद्र O के माध्यम से गुजरने वाले अक्ष Ox और Oy का लंबवत अक्ष है।

Oz अक्ष के चारों ओर तल पटल के क्षेत्र का जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\(\rm{{I_{zz}} = \smallint {r^2}dA = \smallint \left( {{x^2} + {y^2}} \right)dA = \smallint {x^2}dA + \smallint {y^2}dA = {I_{xx}} + {I_{yy}}}\)

किसी बिंदु O पर क्षेत्र के तल के लंबवत एक अक्ष (ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण) के चारों ओर क्षेत्र का जड़त्वाघूर्ण समान बिंदु O से गुजरने वाले किसी भी दो पारस्परिक लंबवत अक्ष के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण के योग के बराबर होता है और यह क्षेत्र के तल में स्थित होता है।

एक वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र वह बिंदु होता है जहाँ वस्तु का पूरा द्रव्यमान केंद्रित होना चाहिए।

किसी सममितीय वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र सममिति के एक अक्ष या सममिति की किसी सतह पर होता है।

द्रव्यमान का केंद्र वस्तु के अंदर या बाहर स्थित हो सकता है।

अवधारणा:

• जड़त्व आघूर्ण (I): जड़त्व आघूर्ण एक घूर्णन करने वाले निकाय का जड़त्व है जो इसके घूर्णन से संबंधित है। जड़त्व आघूर्ण को घूर्णी जड़त्व के रूप में भी जाना जाता है।

I = Σ MR2

जहां I निकाय का जड़त्व आघूर्ण है, M निकाय का द्रव्यमान है, R त्रिज्या है

• समानांतर अक्ष का प्रमेय: अपने केंद्र से गुजरने वाले निकाय के समानांतर एक अक्ष के ओर एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण, निकाय के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाले एक अक्ष के ओर जड़त्वाघूर्ण और निकाय का द्रव्यमान और दोनों अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के उत्पाद के योग के बराबर है।

I = Io + MR2

• अपने स्पर्श रेखा से गुजरने वाले और समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के चारों ओर एक वृत्ताकार रॉड का जड़त्वाघूर्ण है

 \(I = \frac{1}{12}M{L^2}\)

जहाँ, M = निकाय का द्रव्यमान और L = रॉड की लंबाई\

• चूंकि रॉड की लंबाई l है, इसलिए रॉड के केंद्र से रॉड के एक छोर तक की दूरी है

⇒ I' = Io + Ma2

यहाँ, a = l/2

 \(\Rightarrow I' = M\frac{{{l^2}}}{{12}} + M{\left( {\frac{l}{2}} \right)^2} = \frac{{M{l^2}}}{3}\)