Differential Calculus MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मोफत PDF डाउनलोड करा
Last updated on Mar 11, 2025
Latest Differential Calculus MCQ Objective Questions
Differential Calculus Question 1:
समजा, \(f(x)=15-|x-10|; x\in R\). तर, \(g(x)=f(f(x))\) हे फल ज्या सर्व x च्या किमतींसाठी अ-विकलनीय आहे, त्यांचा संच कोणता?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 1 Detailed Solution
\(f(x)=15-|x-10|, x\in R\)
\(f(f(x))=15-|f(x)-10|\)
\(=15-|15-|x-10|-10|\)
\(=15-|5-|x-10||\)
\(x=5, 10, 15\) हे अ-विकलनीयतेचे बिंदू आहेत.
दुसरा मार्ग:
\(x=10\) वर \(f(x)\) अविकलनीय आहे.
त्याचप्रकारे, जेव्हा \(15-|x-10|=10\)
\(\Rightarrow x=5, 15\)
\(\therefore\) अ-विकलनीयतेचे बिंदू \(\{5, 10, 15\}\) आहेत.
Differential Calculus Question 2:
जर \( f(x)={ e }^{ x }\left( \sin { x } -\cos { x } \right) \) साठी रोल्सच्या प्रमेयाची पडताळणी \( \left[ \cfrac { \pi }{ 4 } ,\cfrac { 5\pi }{ 4 } \right] \) या अंतरावर केली असेल, तर \( c \) चे मूल्य काय असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 2 Detailed Solution
कलनशास्त्रात, रोल्सचे प्रमेय म्हणजे कोणताही वास्तव-मूल्यवान विकलनीय फल, जो दोन वेगवेगळ्या बिंदूंवर समान मूल्य प्राप्त करतो, त्याला त्यांच्यामध्ये कुठेतरी स्थिर बिंदू असणे आवश्यक आहे - म्हणजेच, एक बिंदू जिथे पहिला व्युत्पन्न (फलाच्या आलेखाला स्पर्श करणाऱ्या रेषेचा उतार) शून्य असतो.
\( { f }^{ 1 }(c)=0 \)
\( \Rightarrow { e }^{ x }(\sin x - \cos x) + { e }^{ x }(\cos x + \sin x) = 0 \\ \Longrightarrow { e }^{ x }(2\sin x) = 0 \)
\( \Longrightarrow \sin x = 0 \)
\( \left[ \frac { \pi }{ 4 } , \frac { 5\pi }{ 4 } \right] \) वरून \( \sin x = 0 \) जर \( x = \pi \)
\( \Rightarrow c = \pi \)
Differential Calculus Question 3:
समजा, x²/54 + y²/6 = 1 आणि x² + y² = 18 या दोन वक्रांमधील कोन θ आहे. जर θ = \(\tan^{-1}\left(\frac{a\sqrt{b}}{c}\right)\) असेल, तर a + b + c चे मूल्य काढा.
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिलेले आहे, x2/54 + y2/6 = 1
⇒ x2 + 9y2 = 54
⇒ 18 - y2 + 9y2 = 54 [∵ x2 + y2 = 18]
⇒ 8y2 = 36
⇒ y2 = 9/2
⇒ y = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
⇒ x = 18 - y2 = \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
∴ छेदन बिंदू = (\(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\), \(\frac{3}{\sqrt{2}}\))
आता, x2/54 + y2/6 = 1
⇒ \(\frac{2x}{54}\) + \(\frac{2yy'}{6}\) = 0
⇒ x + 9yy' = 0
⇒ \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + 9x\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0
⇒ y' = \(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\) = m1
तसेच, x2 + y2 = 18
⇒ 2x + 2yy' = 0
⇒ \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0
⇒ y' = \(-\sqrt{3}\) = m2
∴ tanθ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)
= \(\left|\frac{-\frac{1}{3\sqrt{3}}-(-\sqrt{3})}{1+(-\frac{1}{3\sqrt{3}})(-\sqrt{3})}\right|\)
= \(\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{3\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}\right|\)
= \(\frac{\frac{8}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
⇒ θ = \(\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\) = \(\tan^{-1}\left(\frac{a\sqrt{b}}{c}\right)\)
⇒ a = 2, b = 3, c = 3
∴ a + b + c चे मूल्य 8 आहे.
पर्याय 3 योग्य आहे.
Differential Calculus Question 4:
जर फल \(f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\) चा विकलज x = 2 वर शून्य होत असेल, तर m + 8n चे मूल्य काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 4 Detailed Solution
गणना:
⇒ \(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)
⇒ \(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)
x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0
⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)
⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)
⇒ m = 8n
∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.
Differential Calculus Question 5:
जर f(x) = ax2 + 6x + 5 हे x = 1 वर सर्वाधिक मूल्य प्राप्त करतो, तर a चे मूल्य काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:-
कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)
तसेच
जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)
जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)
गणना:-
दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0
\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)
⇒ x = -3/a
दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका
आपणास हे मिळते a = -3
तपासा
\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0
⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.
Top Differential Calculus MCQ Objective Questions
दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की mt × mn = -1
mt = dy/dx.
गणना:
फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार mt असेल आणि सामान्य उतार mn असेल.
आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की
mt × mn = -1
mn × dy/dx = -1
⇒ mn = - dx/dy
आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)
∴ mn = 0
⇒ - dx/dy = 0
⇒ dx/dy = 0
∴ दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल
जर \(\rm x^m y^n =a^{m+n}\), तर मग \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) बरोबर किती?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
समजा आपल्याकडे f(x) आणि g(x) अशी दोन फंक्शन आहेत आणि टी दोन्ही भिन्न आहेत.
- चेन नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
- गुणाकार नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
गणना:
दिले आहे: \(\rm x^m y^n =a^{m+n}\)
x च्या संदर्भात फरक केल्यास, आपल्याला मिळते
\(\Rightarrow \rm x^m\dfrac{dy^n}{dx}+ y^n\dfrac{dx^m}{dx} = \dfrac{da^{m+n}}{dx}\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}+ y^n \times mx^{m-1} = 0\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}=- y^n \times mx^{m-1} \\ \Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=\frac{- y^n \times mx^{m-1}}{\rm x^m \times ny^{n-1}}\\\therefore \dfrac{dy}{dx}= \frac{-my}{nx} \)
जर y = b sin3t आणि x = a cos3t, असल्यास \(\rm dy \over dx\)ची किंमत काढा.
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
\(\rm d(sinx) \over dt\) = cosx
\(\rm d(cosx) \over dt\)= -sinx
\(\rm sinx \over cosx\)= tanx
गणना:
दिले आहे,
y = b sin3t
\(\rm dy \over dt\)= 3 b sin2t cos t ....(1)
त्याचप्रमाणे,
x = a cos3t
\(\rm dx \over dt\) = 3 a cos2t (-sin t) ....(2)
समीकरण (1) ला समीकरण (2) ने भागल्यास आपल्याला मिळते,
\(\rm \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)= \(\rm 3 b \sin^2 t \cos t \over -3 a \cos^2 t \sin t\)
⇒\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -b \over a \)tan t
What is \(\frac{{dy}}{{dx}}\) at x = 1 equal to?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFजर फल \(f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\) चा विकलज x = 2 वर शून्य होत असेल, तर m + 8n चे मूल्य काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
⇒ \(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)
⇒ \(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)
x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0
⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)
⇒ \(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)
⇒ m = 8n
∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.
खालील विधाने विचारात घ्या:
1. f(x) = ln x हे (0, ∞) वरील वाढते फल आहे.
2. f(x) = ex - x (ln x) हे (1, ∞) वरील वाढते फल आहे.
वरीलपैकी कोणते/कोणती विधान/विधाने योग्य आहे/आहेत?Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
जर f'(x) > 0 असेल, तर f(x) हे वाढते फल आहे असे म्हणतात.
गणना:
1. f(x) = ln x
f'(x) = 1/x जे (0, ∞) वर नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.
हे विधान योग्य आहे.
2. f(x) = ex - x (ln x)
f'(x) = ex - ln(x) - x (1/x)
⇒ f'(x) = ex - ln(x) - 1
= ex - (ln(x) + 1) हे मूल्य देखील नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.
अशाप्रकारे, हे विधान देखील योग्य आहे.
म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.
त्रिज्या 2 एकक असणाऱ्या वर्तुळात आंतरलिखित आयताचे कमाल क्षेत्रफळ किती असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFShortcut Trickआयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया,
प्रश्नानुसार,
आयताचा कर्ण = वर्तुळाचा व्यास
√(L2 + B2) = 4
⇒ L2 + B2 = 42 ----(1)
आयताच्या कमाल क्षेत्रफळासाठी
लांबी ही त्याच्या रुंदीएवढी असावी [ L = B]
तर (1) वरून,
L = B = √8
∴ आयताचे क्षेत्रफळ = L × B = √8 × √8 = 8
सविस्तर पद्धत
वापरलेले सूत्र:
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
वर्तुळाचा व्यास = 2 × वर्तुळाची त्रिज्या
\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)
गणना:
आयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया.
वर्तुळात आयत आंतरलिखित असल्याने, त्याचा कर्ण हा वर्तुळाचा व्यास असावा.
√(L2 + B2) = 4
⇒ L2 + B2 = 42 ----(1)
आयताचे क्षेत्र Lb द्वारे दिले जाते.
L नुसार स्थितीत फरक करून.
2L + 2b \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0
⇒ \(\rm \frac{dB}{dL} = \frac{-L}{B}\) ----(2)
आता क्षेत्रफळ वेगळे करणे कारण आपल्याला ते कमाल वाढवायचे आहे.
B + L \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0 ----(3)
समीकरण (2) ला समीकरण (3) मध्ये बदलून, आपल्याकडे आहे
⇒ B + L \(\rm \frac{-L}{B}\) = 0
⇒ B2 = L2
⇒ B = L
हा समीकरण संबंध समीकरण (1) मध्ये बदलून, आपल्याला मिळते
⇒ 2L2 = 42 or L2 = 8
⇒ क्षेत्र = LB = L2 = 8 चौरस एकक
∴ वर्तुळात आंतरलिखित आयताचे कमाल क्षेत्रफळ 8 चौरस एकक आहे.
What is \(\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}\) at x = 1 equal to?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFDifferential Calculus Question 14:
दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की mt × mn = -1
mt = dy/dx.
गणना:
फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार mt असेल आणि सामान्य उतार mn असेल.
आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की
mt × mn = -1
mn × dy/dx = -1
⇒ mn = - dx/dy
आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)
∴ mn = 0
⇒ - dx/dy = 0
⇒ dx/dy = 0
∴ दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल
Differential Calculus Question 15:
जर f(x) = ax2 + 6x + 5 हे x = 1 वर सर्वाधिक मूल्य प्राप्त करतो, तर a चे मूल्य काय आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Differential Calculus Question 15 Detailed Solution
संकल्पना:-
कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)
तसेच
जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)
जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)
गणना:-
दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0
\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)
⇒ x = -3/a
दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका
आपणास हे मिळते a = -3
तपासा
\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0
⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.