Differential Calculus MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मोफत PDF डाउनलोड करा

Last updated on Mar 11, 2025

पाईये Differential Calculus उत्तरे आणि तपशीलवार उपायांसह एकाधिक निवड प्रश्न (MCQ क्विझ). हे मोफत डाउनलोड करा Differential Calculus एमसीक्यू क्विझ पीडीएफ आणि बँकिंग, एसएससी, रेल्वे, यूपीएससी, स्टेट पीएससी यासारख्या तुमच्या आगामी परीक्षांची तयारी करा.

Latest Differential Calculus MCQ Objective Questions

Differential Calculus Question 1:

समजा, \(f(x)=15-|x-10|; x\in R\). तर, \(g(x)=f(f(x))\) हे फल ज्या सर्व x च्या किमतींसाठी अ-विकलनीय आहे, त्यांचा संच कोणता?

  1. \(\{5, 10, 15, 20\}\)
  2. \(\{10, 15\}\)
  3. \(\{5, 10, 15\}\)
  4. \(\{10\}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\{5, 10, 15\}\)

Differential Calculus Question 1 Detailed Solution

\(f(x)=15-|x-10|, x\in R\)

\(f(f(x))=15-|f(x)-10|\)

\(=15-|15-|x-10|-10|\)

\(=15-|5-|x-10||\)

\(x=5, 10, 15\) हे अ-विकलनीयतेचे बिंदू आहेत.

दुसरा मार्ग:

\(x=10\) वर \(f(x)\) अविकलनीय आहे.

त्याचप्रकारे, जेव्हा \(15-|x-10|=10\)

\(\Rightarrow x=5, 15\)

\(\therefore\) अ-विकलनीयतेचे बिंदू \(\{5, 10, 15\}\) आहेत.

Differential Calculus Question 2:

जर \( f(x)={ e }^{ x }\left( \sin { x } -\cos { x } \right) \) साठी रोल्सच्या प्रमेयाची पडताळणी \( \left[ \cfrac { \pi }{ 4 } ,\cfrac { 5\pi }{ 4 } \right] \) या अंतरावर केली असेल, तर \( c \) चे मूल्य काय असेल?

  1. \( \cfrac { \pi }{ 3 } \)
  2. \( \cfrac { \pi }{ 2 } \)
  3. \( \cfrac { 3\pi }{ 4 } \)
  4. \( \pi \)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \( \pi \)

Differential Calculus Question 2 Detailed Solution

कलनशास्त्रात, रोल्सचे प्रमेय म्हणजे कोणताही वास्तव-मूल्यवान विकलनीय फल, जो दोन वेगवेगळ्या बिंदूंवर समान मूल्य प्राप्त करतो, त्याला त्यांच्यामध्ये कुठेतरी स्थिर बिंदू असणे आवश्यक आहे - म्हणजेच, एक बिंदू जिथे पहिला व्युत्पन्न (फलाच्या आलेखाला स्पर्श करणाऱ्या रेषेचा उतार) शून्य असतो.

\( { f }^{ 1 }(c)=0 \)

\( \Rightarrow { e }^{ x }(\sin x - \cos x) + { e }^{ x }(\cos x + \sin x) = 0 \\ \Longrightarrow { e }^{ x }(2\sin x) = 0 \)

\( \Longrightarrow \sin x = 0 \)

\( \left[ \frac { \pi }{ 4 } , \frac { 5\pi }{ 4 } \right] \) वरून \( \sin x = 0 \) जर \( x = \pi \)

\( \Rightarrow c = \pi \)

Differential Calculus Question 3:

समजा, x²/54 + y²/6 = 1 आणि x² + y² = 18 या दोन वक्रांमधील कोन θ आहे. जर θ = \(\tan^{-1}\left(\frac{a\sqrt{b}}{c}\right)\) असेल, तर a + b + c चे मूल्य काढा.

  1. 15
  2. 11
  3. 8
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 8

Differential Calculus Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिलेले आहे, x2/54 + y2/6 = 1

⇒ x2 + 9y2 = 54

⇒ 18 - y2 + 9y2 = 54 [∵ x2 + y2 = 18]

⇒ 8y2 = 36

⇒ y2 = 9/2

⇒ y = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)

⇒ x = 18 - y2 = \(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

∴ छेदन बिंदू = (\(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\), \(\frac{3}{\sqrt{2}}\))

आता, x2/54 + y2/6 = 1

\(\frac{2x}{54}\) + \(\frac{2yy'}{6}\) = 0

⇒ x + 9yy' = 0

\(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + 9x\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0

⇒ y' = \(-\frac{1}{3\sqrt{3}}\) = m1

तसेच, x2 + y2 = 18

⇒ 2x + 2yy' = 0

\(\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)y' = 0

⇒ y' = \(-\sqrt{3}\) = m2

∴ tanθ = \(\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\)

= \(\left|\frac{-\frac{1}{3\sqrt{3}}-(-\sqrt{3})}{1+(-\frac{1}{3\sqrt{3}})(-\sqrt{3})}\right|\)

= \(\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{3\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}\right|\)

= \(\frac{\frac{8}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

⇒ θ = \(\tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\) = \(\tan^{-1}\left(\frac{a\sqrt{b}}{c}\right)\)

⇒ a = 2, b = 3, c = 3

∴ a + b + c चे मूल्य 8 आहे.

पर्याय 3 योग्य आहे.

Differential Calculus Question 4:

जर फल \(f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\) चा विकलज x = 2 वर शून्य होत असेल, तर m + 8n चे मूल्य काय आहे?

  1. -2
  2. 0
  3. 2
  4. अपर्याप्त माहितीमुळे ठरवता येत नाही

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : अपर्याप्त माहितीमुळे ठरवता येत नाही

Differential Calculus Question 4 Detailed Solution

गणना:

\(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)

\(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)

x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0

\(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)

\(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)

m = 8n

∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.

Differential Calculus Question 5:

जर f(x) = ax2 + 6x + 5 हे x = 1 वर सर्वाधिक मूल्य प्राप्त करतो, तर a चे मूल्य काय आहे?

  1. 0
  2. 5
  3. 3
  4. -3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -3

Differential Calculus Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:-

कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)

तसेच

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)

गणना:-

दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0

\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)

⇒ x = -3/a

दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका 

आपणास हे मिळते a = -3

तपासा

\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0

⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.

Top Differential Calculus MCQ Objective Questions

दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर 

  1. \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\)
  2. \(\frac{{dy}}{{dx}} = 1\)
  3. \(\frac{{dx}}{{dy}} = 0\)
  4. \(\frac{{dx}}{{dy}} = 1\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{{dx}}{{dy}} = 0\)

Differential Calculus Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की m× mn = -1

m= dy/dx.

गणना:

फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार mt असेल आणि सामान्य उतार mn असेल.

आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की

 m× mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ ​दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल

जर \(\rm x^m y^n =a^{m+n}\), तर मग \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) बरोबर किती?

  1. \(\rm \dfrac{my}{nx}\)
  2. \(-\rm \dfrac{my}{nx}\)
  3. \(\rm \dfrac{mx}{ny}\)
  4. \(-\rm \dfrac{ny}{mx}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(-\rm \dfrac{my}{nx}\)

Differential Calculus Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

समजा आपल्याकडे f(x) आणि g(x) अशी दोन फंक्शन आहेत आणि टी दोन्ही भिन्न आहेत.

  • चेन नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
  • गुणाकार नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

 

गणना:

दिले आहे: \(\rm x^m y^n =a^{m+n}\)

x च्या संदर्भात फरक केल्यास, आपल्याला मिळते

\(\Rightarrow \rm x^m\dfrac{dy^n}{dx}+ y^n\dfrac{dx^m}{dx} = \dfrac{da^{m+n}}{dx}\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}+ y^n \times mx^{m-1} = 0\\\Rightarrow \rm x^m \times ny^{n-1} \dfrac{dy}{dx}=- y^n \times mx^{m-1} \\ \Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=\frac{- y^n \times mx^{m-1}}{\rm x^m \times ny^{n-1}}\\\therefore \dfrac{dy}{dx}= \frac{-my}{nx} \)

जर y = b sin3t आणि x = a cos3t, असल्यास \(\rm dy \over dx\)ची किंमत काढा.

  1.  - \(b\over a\) tan t
  2. \(b\over a\)tan t
  3. \(a \over b\) cot t
  4. \(a \over b\)cot t

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 :  - \(b\over a\) tan t

Differential Calculus Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

\(\rm d(sinx) \over dt\) = cosx

\(\rm d(cosx) \over dt\)= -sinx

\(\rm sinx \over cosx\)= tanx

 

गणना:

दिले आहे,

y =  b sin3t

\(\rm dy \over dt\)= 3 b sin2t cos t          ....(1)

त्याचप्रमाणे,

x = a cos3t

\(\rm dx \over dt\) = 3 a cos2t (-sin t)      ....(2)

समीकरण (1) ला समीकरण (2) ने भागल्यास आपल्याला मिळते,

\(\rm \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)\(\rm 3 b \sin^2 t \cos t \over -3 a \cos^2 t \sin t\)

\(\rm dy\over dx\) = \(\rm -b \over a \)tan t

जर फल \(f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\) चा विकलज x = 2 वर शून्य होत असेल, तर m + 8n चे मूल्य काय आहे?

  1. -2
  2. 0
  3. 2
  4. अपर्याप्त माहितीमुळे ठरवता येत नाही

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : अपर्याप्त माहितीमुळे ठरवता येत नाही

Differential Calculus Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

गणना:

\(\displaystyle f(x) =\frac{m}{x} +2nx + 1\)

\(\displaystyle f'(x) =\frac{-m}{x^2} +2n\)

x = 2 वर विकलज शून्य होतो, म्हणून, f'(2) = 0

\(\displaystyle f'(2) =\frac{-m}{2^2} +2n=0\)

\(\displaystyle f'(2) =\frac{{-m} +8n}{4}=0\)

m = 8n

∴ अपर्याप्त माहितीमुळे m + 8n चे मूल्य ठरवता येत नाही.

खालील विधाने विचारात घ्या:

1. f(x) = ln x हे (0, ∞) वरील वाढते फल आहे.

2. f(x) = ex - x (ln x) हे (1, ∞) वरील वाढते फल आहे.

वरीलपैकी कोणते/कोणती विधान/विधाने योग्य आहे/आहेत?

  1. फक्त 1
  2. फक्त 2
  3. 1 आणि 2 दोन्ही
  4. 1 किंवा 2 कोणतेही नाही

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1 आणि 2 दोन्ही

Differential Calculus Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

जर f'(x) > 0 असेल, तर f(x) हे वाढते फल आहे असे म्हणतात.

गणना:

1. f(x) = ln x

f'(x) = 1/x जे (0, ∞) वर नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.

हे विधान योग्य आहे.

2. f(x) = ex - x (ln x)

f'(x) = ex - ln(x) - x (1/x)

⇒ f'(x) = ex - ln(x) - 1

= ex - (ln(x) + 1) हे मूल्य देखील नेहमीच शून्यापेक्षा जास्त असते.

अशाप्रकारे, हे विधान देखील योग्य आहे.

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

त्रिज्या 2 एकक असणाऱ्या वर्तुळात आंतरलिखित आयताचे कमाल क्षेत्रफळ किती असेल?

  1. 4 चौरस एकक
  2. 6 चौरस एकक
  3. 8 चौरस एकक
  4. 16 चौरस युएकक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 8 चौरस एकक

Differential Calculus Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

Shortcut Trickआयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया,

प्रश्नानुसार,

आयताचा कर्ण = वर्तुळाचा व्यास

√(L+ B2) = 4   

⇒ L+ B2 = 42    ----(1)

आयताच्या कमाल क्षेत्रफळासाठी

लांबी ही त्याच्या रुंदीएवढी असावी [ L = B]

तर (1) वरून, 

L = B = √8

∴ आयताचे क्षेत्रफळ = L × B = √8 × √8 = 8

 

सविस्तर पद्धत

वापरलेले सूत्र:

आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी

वर्तुळाचा व्यास = 2 × वर्तुळाची त्रिज्या 

\(\rm \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n - 1}\)

गणना:

आयताची लांबी L आणि रुंदी B मानूया.

वर्तुळात आयत आंतरलिखित असल्याने, त्याचा कर्ण हा वर्तुळाचा व्यास असावा.

√(L+ B2) = 4   

⇒ L+ B2 = 42    ----(1)

आयताचे क्षेत्र Lb द्वारे दिले जाते.

L नुसार स्थितीत फरक करून.

2L + 2b \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0

⇒ \(\rm \frac{dB}{dL} = \frac{-L}{B}\)       ----(2)

आता क्षेत्रफळ वेगळे करणे कारण आपल्याला ते कमाल वाढवायचे आहे. 

B + L \(\rm \frac{dB}{dL}\) = 0       ----(3)

समीकरण (2) ला समीकरण (3) मध्ये बदलून, आपल्याकडे आहे

⇒ B + L \(\rm \frac{-L}{B}\) = 0   

⇒ B2 = L2

⇒ B = L

हा समीकरण संबंध समीकरण (1) मध्ये बदलून, आपल्याला मिळते

⇒ 2L= 42 or L2 = 8

⇒ क्षेत्र = LB = L2 = 8 चौरस एकक

∴ वर्तुळात आंतरलिखित आयताचे कमाल क्षेत्रफळ 8 चौरस एकक आहे.

Differential Calculus Question 14:

दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर 

  1. \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\)
  2. \(\frac{{dy}}{{dx}} = 1\)
  3. \(\frac{{dx}}{{dy}} = 0\)
  4. \(\frac{{dx}}{{dy}} = 1\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{{dx}}{{dy}} = 0\)

Differential Calculus Question 14 Detailed Solution

संकल्पना:

सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की m× mn = -1

m= dy/dx.

गणना:

फल f(x) विचारात घेऊ, जसे की स्पर्शिकेचा उतार mt असेल आणि सामान्य उतार mn असेल.

आता, आपणास माहित आहे की, सामान्य स्पर्शिकेला लंब आहे, जसे की

 m× mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

आता, प्रश्नानुसार, सामान्य हा x-अक्षाच्या समांतर आहे, म्हणून सामान्यचा उतार x-अक्षाच्या उताराइतका आहे. (म्हणजे, शून्य)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ ​दिलेल्या वक्रातील सामान्य जर x-अक्षाच्या समांतर असेल तर dx/dy = 0 असेल

Differential Calculus Question 15:

जर f(x) = ax2 + 6x + 5 हे x = 1 वर सर्वाधिक मूल्य प्राप्त करतो, तर a चे मूल्य काय आहे?

  1. 0
  2. 5
  3. 3
  4. -3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -3

Differential Calculus Question 15 Detailed Solution

संकल्पना:-

कोणत्याही फल f(x) मध्ये 'x' च्या त्या मूल्यांवर एकतर महत्तम किंवा लघुतम असते, जेथे \(\rm\frac{dy}{dx}=0\); y = f(x)

तसेच

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}>0\) ⇒ 'x' लघुतम आहे, जेथे y = f(x)

जर \(\rm \frac{d^2y}{dx^2}<0\) 'x' महत्तम आहे, जेथे y = f(x)

गणना:-

दिलेल्याप्रमाणे f(x) = ax2 + 6x + 5 = 0

\(\rm \frac{d f(x)}{dx}=2ax+6=0\)

⇒ x = -3/a

दिलेल्याप्रमाणे x = 1 महत्तम आहे, x = 1 हे मूल्य वरील समीकरणात टाका 

आपणास हे मिळते a = -3

तपासा

\(\rm \frac{d^2y}{dx^2}=2a\) = -6 < 0

⇒ x = 1 महत्तम आहे हे योग्य आहे.

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti rummy teen patti yes teen patti game teen patti sweet