\(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\)का मान क्या है?

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी (GP):

• संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।
• पहला पद a और सार्व अनुपात r के साथ n पदों की ज्यामितीय श्रेणी को निम्न रूप में दर्शाया गया है:

  a, ar, ar2, ar3, ..., arn-2, arn-1।

• GP के पहले n पदों का योग है: S _n = \(\rm a\left(\dfrac{r^n-1}{r-1}\right)\) ।
• GP के ∞ का योग, जब |r| < 1, है: S _∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}\) ।

गणना:

हम अनंत श्रृंखला \(\rm \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\ ... \infty\) पर विचार करते हैं।

यहां, a = \(\rm \dfrac{1}{3}\) और r = \(\rm \dfrac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\)।

∴ S∞ = \(\rm \dfrac{a}{1-r}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{2}\)।

अब, P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}} 9^{\tfrac{1}{9}} 9^{\tfrac{1}{27}}\ ...\ \infty\) ।

∴ P = \(\rm 9^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{27}+\ ... \infty}=9^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt9=3\) ।