चक्रीय चतुर्भुज MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cyclic Quadrilateral - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 22, 2025
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चक्रीय चतुर्भुज Question 1:
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमे ∠B = 112° है। A और C पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु P पर मिलती हैं। ∠APC का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
∠B = 112°
प्रयुक्त सूत्र:
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180°
गणना:
दिए गए चक्रीय चतुर्भुज ABCD में,
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 180°
⇒ ∠ADC = 180° - 112° = 68°
चूँकि PA बिंदु A पर वृत्त की स्पर्श रेखा है और AC जीवा है जो कोण ∠D = 68° अंतरित करती है।
वृत्त की स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण वृत्त के एकांतर खंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है।
इस मामले में, बिंदु A (रेखा खंड PA) पर स्पर्श रेखा और जीवा AC एकांतर खंड में ∠PAC अंतरित करती है, जो समान जीवा AC द्वारा अंतरित कोण ∠D के बराबर है। इसलिए, ∠PAC = ∠D = 68° है।
⇒ ∠PAC = ∠D = 68°
इसके अलावा,
⇒ ∠PAC = ∠PCA, (चूँकि PA और PC, A और C पर स्पर्श रेखाएँ हैं)
⇒ ∠PAC = ∠PCA = ∠ADC = 68°
ΔPAC में
⇒ ∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°
⇒ 68° + 68° + ∠APC = 180°
⇒ ∠APC = 180° - 136° = 44°
इसलिए, आवश्यक परिणाम 44° होगा।
चक्रीय चतुर्भुज Question 2:
किसी चतुर्भुज ABCD के कोण A, B, C और D क्रमशः (3x - 10°), (x + 30°), (2x + 30°) और (2x - 10°) हैं। तब, यह चतुर्भुज है एक ___________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
चतुर्भुज ABCD के कोण हैं:
- कोण A = \( (3x - 10^\circ) \)
- कोण B = \( (x + 30^\circ) \)
- कोण C = \( (2x + 30^\circ) \)
- कोण D = \( (2x - 10^\circ) \)
किसी भी चतुर्भुज के अंतःकोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
- कोणों के योग के लिए समीकरण स्थापित करें:
\( (3x - 10^\circ) + (x + 30^\circ) + (2x + 30^\circ) + (2x - 10^\circ) = 360^\circ \) - समीकरण को सरल करें:
\( 3x + x + 2x + 2x - 10^\circ + 30^\circ + 30^\circ - 10^\circ = 360^\circ \)
\( 8x + 40^\circ = 360^\circ \) - के लिए हल करें:
\( 8x = 320^\circ \)
\( x = 40^\circ \) - प्रत्येक कोण ज्ञात करें:
- कोण A = \( 3(40^\circ) - 10^\circ = 110^\circ \)
- कोण B = \( 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ \)
- कोण C = \( 2(40^\circ) + 30^\circ = 110^\circ \)
- कोण D = \( 2(40^\circ) - 10^\circ = 70^\circ \)
- आसन्न कोण:
- कोण A (\( 110^\circ \)) + कोण B (\( 70^\circ \)) = \( 180^\circ \)
- कोण B (\( 70^\circ \)) + कोण C (\( 110^\circ \)) = \( 180^\circ \)
- कोण C (\( 110^\circ \)) + कोण D (\( 70^\circ \)) = \( 180^\circ \)
- कोण D (\( 70^\circ \)) + कोण A (\( 110^\circ \)) = \( 180^\circ \)
चतुर्भुज में है:
- संलग्न भुजाओं के दो अलग-अलग जोड़े जहाँ एक जोड़ा बराबर है
- समान सम्मुख कोणों का एक जोड़ा (\( 110^\circ \) और \( 110^\circ \))
- समान सम्मुख कोणों का दूसरा जोड़ा (\( 70^\circ \) और \( 70^\circ \))
- संलग्न कोण अनुपूरक हैं (\( 180^\circ \) तक जोड़ते हैं)
ये गुण समांतर चतुर्भुज की विशेषता हैं।
नोट:
आधिकारिक उत्तर कुंजी के अनुसार, विकल्प 3 और 4 दोनों सही हैं।
चक्रीय चतुर्भुज Question 3:
चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण है: A = (6x + 10), B = (5x)°, C = (x + y)° और D =(3y - 10)°. x और y का मान है :
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त सूत्र:
एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
A + C = 180° और B + D = 180°
गणनाएँ:
⇒ (6x + 10) + (x + y) = 180
⇒ 7x + y = 170 .........(1)
⇒ (5x) + (3y - 10) = 180
⇒ 5x + 3y = 190 .........(2)
अब, समीकरण 1 और 2 को हल करना:
7x + y = 170
5x + 3y = 190
____________
21x + 3y = 510 ......(3)
5x + 3y = 190 .......(4)
(4) को (3) से घटाने पर:
16x = 320 ⇒ x = 20°
(4) में x का मान रखने पर:
5 x 20 + 3y = 190
⇒ 100 + 3y = 190
⇒ y = 30°
⇒ x = 20° और y = 30°
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।
चक्रीय चतुर्भुज Question 4:
एक चतुर्भुज PQRS केंद्र O वाले एक वृत्त के अंतर्गत इस प्रकार उत्कीर्णित है कि PQ एक व्यास है और \(\angle PSR = 120^{\circ}\) है। \(\angle QPR\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है, और ∠PSR = 120°
गणना:
जैसा कि हम जानते हैं, एक चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योगफल 180° होता है।
⇒ ∠PSR + ∠PQR = 180°
⇒ ∠PQR = 180° - 120° = 60°
ΔPQR में,
यदि PQ व्यास है, तो ∠PRQ = 90°
⇒ ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR = 180°
⇒ 60° + 90° + ∠QPR = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 150° = 30°
सही उत्तर विकल्प 1 है।
चक्रीय चतुर्भुज Question 5:
एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग होता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 5 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
एक चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत कोणों का योग संपूरक (अर्थात, वे
180o तक जोड़ते हैं) होता है।
इसलिए विकल्प 3 सही है।
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एक वृत्त चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। यदि PQ = 11 सेमी, QR = 12 सेमी और PS = 8 सेमी है। तो RS की लंबाई क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
एक वृत्त चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है। यदि PQ = 11 सेमी, QR = 12 सेमी और PS = 8 सेमी है।
गणना:
यदि एक वृत्त चतुर्भुज PQRS की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, तो,
PQ + RS = SP + RQ
इसलिए,
⇒ 11 + RS = 8 + 12
⇒ RS = 20 - 11
⇒ RS = 9
∴ विकल्प 3 सही उत्तर है।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। विकर्ण BD और AC एक दूसरे को E पर काटते हैं। यदि ∠BEC = 138° और ∠ECD = 35° है, तो ∠BAC का माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
BEC = 138° और ∠ECD = 35°
प्रयुक्त संकल्पना:
चक्रीय चतुर्भुज में, समान चाप पर कोण हमेशा समान होते हैं
गणना:
∠BEC और ∠CED समान सरल रेखा पर हैं
∠BEC =138°
∠CED = 180° – 138°
⇒ ∠CED = 42°
ΔCDE में, ∠CED = 42° और ∠DCE = 35°
∠CDE = 180° - (42° + 35°)
∠CDE = 103°
∠BAC और ∠BDC समान चाप BC पर हैं
हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज में समान चाप पर कोण हमेशा समान होते हैं।
∠BAC = 103°
∴ ∠BAC का माप 103° है
PQRS एक चक्रीय समलंब चतुर्भुज है जहाँ PQ, SR के समांतर है और PQ व्यास है। यदि ∠QPR = 40° है, तो ∠PSR बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
PQRS एक चक्रीय समलंब चतुर्भुज है जहाँ PQ, RS के समांतर है।
PQ व्यास है और ∠QPR = 40°
संकल्पना:
अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
एक चक्रीय समलंब चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
गणना:
त्रिभुज PQR में,
∠RPQ + ∠RQP + ∠QRP = 180° [कोण योग गुणधर्म]
⇒ 40° + ∠RQP + 90° = 180°
⇒ ∠RQP = 180° - 130° = 50°
∠RQP + ∠PSR = 180° [संपूरक कोण]
∴ ∠PSR = 180° - 50° = 130°
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠B = 104° है। A और C पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु P पर मिलती हैं। तो ∠APC का माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
∠B = 104°
प्रयुक्त सूत्र:
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण = 180°
गणना:
दिए गए चक्रीय चतुर्भुज ABCD में
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 180°
⇒ ∠ADC = 180° - 104° = 76°
चूँकि PA बिंदु A पर वृत्त की स्पर्श रेखा है और AC वह जीवा है जो कोण ∠D = 76° को अंतरित कर रही है
किसी वृत्त की स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण, वृत्त के एकांतर खंड में जीवा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
इस स्थिति में, बिंदु A (रेखा खंड PA) और जीवा AC पर स्पर्शरेखा एकांतर खंड में ∠PAC अंतरित करती है, जो समान जीवा AC द्वारा अंतरित कोण ∠D के बराबर है। इसलिए, ∠PAC = ∠D = 76°.
⇒ ∠PAC = ∠D = 76°
साथ ही,
⇒ ∠PAC = ∠PCA, (चूंकि PA और PC A और C की स्पर्श रेखाएँ हैं)
⇒ ∠PAC = ∠PCA = ∠ADC = 76°
ΔPAC में
⇒ ∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°
⇒ 76° + 76° + ∠APC = 180°
⇒ ∠APC = 180° - 152° = 28°
∴ अभीष्ट परिणाम 28° होगा।
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB = 16 सेमी, CD = 18 सेमी और AD = 12 सेमी है और AC, BD को समद्विभाजित करता है। AC.BD का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
AB = 16 सेमी
CD = 18 सेमी
AD = 12 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि विकर्ण PR, विकर्ण QS को समद्विभाजित करता है, तो
PQ × QR = PS × RS
एक चक्रीय चतुर्भुज PQRS में
PR × SQ = PQ × RS + PS × QR
गणना:
अवधारणा के अनुसार,
AB × BC = CD × AD
⇒ 16BC = 18 × 12
⇒ 16BC = 216
⇒ BC = 13.5 सेमी
अब,
पुनः अवधारणा के अनुसार,
AC.DB = AB × CD + AD × BC
⇒ AC.DB = 16 × 18 + 12 × 13.5
⇒ AC.DB = 288 + 162
⇒ AC.DB = 450
∴ AC.BD का मान 450 है।
दी गई आकृति में, PQ वृत्त के केंद्र 'O' से गुजरने वाली एक जीवा है। ∠PQS की गणना कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
∠PSQ = 90° क्योंकि कोण अर्धवृत्त में है।
गणना:
∠SPQ = 180° - 110° = 70° ( चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है)
अब, त्रिभुज PQS में।
∠PSQ = 90° (अर्धवृत्त में कोण)
∠PQS = 180° - ( ∠PSQ +∠QPS)
⇒ 180° - (90° + 70°) = 20°
∴ सही विकल्प 3 है
PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें PQ = x सेमी, QR = 16.8 सेमी, RS = 14 सेमी, PS = 25.2 सेमी और PR, QS को द्विभाजित करती है। x का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFनिम्नलिखित आकृति से
∠SQP = ∠OQP = ∠SRO
OQ = OS (दिया है)
∠QPR = ∠QSR = ∠OSR
∴ t,हम कह सकते हैं कि,
ΔPOQ∼ΔSOR
PQ/SR = OQ/OR
OQ/OR = x/14
दिया है, OQ = OS
OS/OR = x/14 --- (1)
जैसा कि हम जानते है,
ΔPOS∼ΔQOR
OS/OR = PS/QR
OS/OR = 25.2/16.8 --- (2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) से
x/14 = 25.2/16.8
x = (25.2 × 14)/16.8
∴ x = 21 सेमी
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। भुजाएँ AB और DC, जब विस्तृत की जाती हैं तो, बिंदु E पर मिलती हैं, और भुजाएँ BC और AD, जब विस्तृत की जाती हैं तो, बिंदु F पर मिलती हैं। यदि ∠BFA = 60° और ∠AED = 30°, तो ∠ABC का माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है:
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∠BFA = 60° और ∠AED = 30°
गणना:
∠BFA = 60 & ∠BED = 30
माना ∠ABC = θ
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180
∠ADC = 180 – θ ---- (1)
अब,
∠ADC + ∠FDC = 180 [सीधी रेखा]
समीकरण से (1);
180 – θ + ∠FDC = 180
∠FDC = θ
ΔDFC में
∠FDC + ∠DFC + FCD = 180
θ + 60 + ∠FCD = 180
∠FCD = 180 – 60 – θ = 120 – θ
∠FCD = ∠BCE = (120 – θ) [लंबवत विपरीत कोण]
∠ABC + ∠CBE = 180 [सीधी रेखा]
∠CBE = 180 – θ
ΔBEC में,
∠CBE + ∠BCE + ∠BEC = 180
180 – θ + 120 – θ + 30 = 180
2θ = 330 – 180 = 150
θ = 150/2 = 75
Shortcut Trick
त्रिभुज ABF में
α + θ + 60 = 180
⇒ α + θ = 120 → (1)
त्रिभुज ADE में
α + π - θ + 30 = 180
⇒ α - θ + 30 = 0 → (2)
समीकरण (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है
α = 45° और θ = 75°
∴ ∠ABC = 75°
एक समलम्ब की दो समानांतर भुजाओं की लंबाई क्रमशः 53 सेमी और 68 सेमी है और समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी 16 सेमी है। समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसमलम्ब का क्षेत्रफल = 1/2 × (समानांतर भुजाओं का योग) × (समानांतर भुजाओं के बीच की )
⇒ 1/2 × (53 + 68) × 16
⇒ 1/2 × 121 × 16
∴ समलम्ब का क्षेत्रफल = 968 सेमी2
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाया गया है और भुजाओं AD और BC को F पर मिलने के लिए बढ़ाया गया है। यदि ∠ADC = 78° और ∠BEC = 52° है, तो ∠AFB की माप क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Cyclic Quadrilateral Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
∠ADC = 78° और ∠BEC = 52°
अवधारणा:
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग का 180° होता है।
गणना:
अब, चतुर्भुज ABCD में,
∠ADC + ∠ABC = 180° (सम्मुख कोणों का योग 180° होता है)
⇒ ∠ABC = 180° - 78° = 102°
∠EBC = 180° - 102° = 78° [रैखिक युग्म]
ΔBEC में,
∠BEC + ∠EBC + ∠BCE = 180°
⇒ 52° + 78° + ∠BCE = 180°
⇒ ∠BCE = 180° - 130° = 50°
⇒ ∠BCE = ∠DCF = 50° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠ADE + ∠FDC = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ ∠FDC = 180° - ∠ADE = 180° - 78° = 102°
ΔDCF में,
∠FDC + ∠DCF + ∠DFC = 180°
102 + 50 + ∠DFC = 180°
∠DFC = 180° - 152° = 28°
∠DFC = ∠AFB = 28°
∴ ∠AFB की माप 28° है।