Operator Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operator Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

कोणीय संवेग संचालक और क्रम-विनिमेय संबंध

• कोणीय संवेग संचालक, जिन्हें \( L_x \,, L_y \), और \( L_z \) के रूप में दर्शाया गया है, क्रमशः x, y और z अक्षों के साथ कोणीय संवेग घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• क्वांटम यांत्रिकी यह निर्धारित करती है कि ये संचालक एक-दूसरे के साथ क्रम-विनिमेय नहीं होते हैं। यह विशिष्ट क्रम-विनिमेय संबंधों द्वारा दर्शाया गया है:
  • \( [L_x, L_y] = i \hbar L_z \): L_x और L_y का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_z \) देता है।
  • \( [L_y, L_z] = i \hbar L_x \): L_y और L_z का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_x\) देता है।
  • \( [L_z, L_x] = i \hbar L_y \): L_z और L_x का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_y\) देता है।
• ये क्रम-विनिमेय संबंध निहित करते हैं कि कोणीय संवेग के घटकों को मनमाने परिशुद्धता के साथ एक साथ मापा नहीं जा सकता है, जो क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक परिणाम है।

व्याख्या:

उत्थापन और अवरोहण संचालक: \( L_+ \) और \( L_-\)

• उत्थापन संचालक \( L_+ \) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  • \( L_+ = L_x + i L_y \)
• इसी प्रकार, अवरोहण संचालक \( L_-\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  • \( L_- = L_x - i L_y \)
• ये संचालक हमें L_z के आइगेनमानों को स्थानांतरित करने की अनुमति देते हैं:
  • \( L_+ \) (उत्थापन संचालक) \( L_z\)-आइगेनमान को +1 से बढ़ाता है, प्रभावी रूप से क्वांटम अवस्था को "उठाता" है।
  • \( L_-\) (अवरोहण संचालक) \( L_z\)-आइगेनमान को -1 से घटाता है, प्रभावी रूप से क्वांटम अवस्था को "नीचे" करता है।
• ये संचालक परिभाषित कोणीय संवेग वाली प्रणाली के लिए क्वांटम अवस्थाओं के सोपानक्रम को बनाने या तोड़ने में महत्वपूर्ण हैं।

\( L_z \) और \( L_+ \) के बीच क्रम-विनिमेय संबंध

• यह निर्धारित करने के लिए कि \( L_z \) \( L_+ \) के साथ कैसे परस्पर क्रिया करता है, हम क्रम-विनिमेय संबंध \( [L_z, L_+] \) की गणना करते हैं:
  • \( [L_z, L_+] = L_z L_+ - L_+ L_z \)
• ज्ञात क्रम-विनिमेय संबंधों का उपयोग करके, हम पाते हैं:
  • \( L_z L_+ = L_z (L_x + i L_y) = L_z L_x + i L_z L_y \)
  • इसी प्रकार, \(L_+ L_z = (L_x + i L_y) L_z = L_x L_z + i L_y L_z \)
• फिर हम कोणीय संवेग क्रम-विनिमेय संबंधों का उपयोग करके प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं:
  • \( [L_z, L_x] = i \hbar L_y \) और \( [L_z, L_y] = -i \hbar L_x \)
  • इससे हमें प्राप्त होता है:
    • \( L_z L_x - L_x L_z = i \hbar L_y \)
    • \( L_z L_y - L_y L_z = -i \hbar L_x \)
• इनका संयोजन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
  • \( [L_z, L_+] = +L_+ \)

निष्कर्ष:

• सही विकल्प: विकल्प 1: \([L_z, L_+] = L_+\) है।

सही उत्तर है कि Â ऐकिक है।

संकल्पना:-

सामान्यीकृत तरंग फलन- क्वांटम यांत्रिकी में एक सामान्यीकृत तरंग फलन एक ऐसा तरंग फलन है जो इस शर्त को पूरा करता है कि इसके परिमाण के वर्ग का सम्पूर्ण स्थान पर समाकलन 1 के बराबर है। यह सामान्यीकरण शर्त यह सुनिश्चित करती है कि तरंग फलन कण की स्थिति के लिए एक मान्य प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

एकल कण के लिए, तरंग फलन के लिए सामान्यीकरण शर्त है:

\(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1 \).

व्याख्या:-

ψ = Âϕ एक सामान्यीकृत फलन है

\(\int({\hat A}\phi)^{\dagger}({\hat A}\phi)\mathrm{d}\tau\ =\ 1\\\int\phi^{\dagger}A^{\dagger}A\phi\ \mathrm{d}\tau\ =\ 1\\\int\phi^{\dagger}\phi\ \mathrm{d}\tau\ =\ 1 \)

इसलिए, \(\phi \) सामान्यीकृत होगा यदि \(A^{\dagger}A\ =\ 1\)

निष्कर्ष:-

एक सामान्यीकृत तरंग फलन ψ = Âϕ, तब ϕ भी सामान्यीकृत होगा जब Â ऐकिक है।

सही उत्तर \(-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) है।

संप्रत्यय: -

[A]^\(\dagger\) = [A], यह हर्मिटियन ऑपरेटर है

[A]\(\dagger\) = -[A], यह एक प्रति-हर्मिटियन ऑपरेटर है

व्याख्या: -

[\(i \hbar \frac{d^2}{d x^2}\)]^\(\dagger\) = - [\(i \hbar \frac{d^2}{d x^2}\)] प्रति-हर्मिटियन

[\(-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)]\(\dagger\) = [\(-\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)] हर्मिटियन

[ihx] = [-ih] नहीं हर्मिटियन

[ih] = [-ih] नहीं हर्मिटियन

निष्कर्ष: -

निम्नलिखित में से हर्मिटियन ऑपरेटर \(i \hbar \frac{d^2}{d x^2}\) है।

सही विकल्प 2 है

संप्रत्यय:-

भूमि अवस्था विक्षोभ सिद्धांत के संबंध में विकल्पों में से असत्य कथन है:

b) E₀(1) हमेशा ऋणात्मक होता है।

यहाँ कारण दिया गया है:

E₀(0): यह किसी भी विक्षोभ की अनुपस्थिति में निकाय की (यथार्थ भूमि अवस्था ऊर्जा) का प्रतिनिधित्व करता है।
E₀(1): यह विक्षोभ के कारण भूमि अवस्था ऊर्जा में (प्रथम-क्रम सुधार) का प्रतिनिधित्व करता है।
E₀(2): यह विक्षोभ के कारण भूमि अवस्था ऊर्जा में (द्वितीय-क्रम सुधार) का प्रतिनिधित्व करता है।

याद रखने योग्य मुख्य बात यह है कि E₀(1) विक्षोभ और निकाय की विशिष्ट प्रकृति के आधार पर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

यहाँ तर्क दिया गया है:

प्रथम-क्रम सुधार निकाय की अप्रभावित भूमि अवस्था और उत्तेजित अवस्थाओं के बीच परस्पर क्रिया से उत्पन्न होता है।
यदि विक्षोभ मुख्य रूप से उत्तेजित अवस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करता है जिनकी भूमि अवस्था की तुलना में (उच्च ऊर्जा) होती है, तो परस्पर क्रिया भूमि अवस्था को (अस्थिर) करने की प्रवृत्ति रखती है, जिससे (धनात्मक) E₀(1) होता है।
इसके विपरीत, यदि विक्षोभ मुख्य रूप से उन उत्तेजित अवस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करता है जिनकी भूमि अवस्था से कम ऊर्जा होती है, तो परस्पर क्रिया भूमि अवस्था को स्थिर करने की प्रवृत्ति रखती है, जिससे (ऋणात्मक) E₀(1) होता है।

इसलिए, कथन "E₀(1) हमेशा ऋणात्मक होता है" गलत है। अन्य कथन सत्य हैं:

E₀(0) किसी भी विक्षोभ की अनुपस्थिति में यथार्थ भूमि अवस्था ऊर्जा है।
E₀(2) विशिष्ट विक्षोभ और निकाय के आधार पर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
उच्च-क्रम सुधार (E₀(2) से परे) (धनात्मक होने की गारंटी नहीं है)। विशिष्ट स्थिति के आधार पर इनमें धनात्मक या ऋणात्मक योगदान हो सकते हैं।

व्याख्या:-

भूमि अवस्था में प्रथम क्रम ऊर्जा सुधार दिया गया है

\(E_0^1=\int_{-\infty}^{\infty} (\psi^o | \hat{H}^0 + \hat{H}^1 | \psi^o) dy=E_0^0 +\Delta E\)

\(\therefore E_0^1 \geq E_0^0 .......(1)\)

निष्कर्ष:-

इसलिए, प्रथम क्रम सुधार आवश्यक रूप से ऋणात्मक नहीं है, यह धनात्मक और शून्य भी हो सकता है।

उत्तर iℏ \(\rm \frac{dV}{dx}\) है। 

अवधारणा:-

• कम्यूटेटर: कम्यूटेटर, जिसे [A, B] = AB-BA के रूप में दर्शाया जाता है, क्वांटम यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह अनिवार्य रूप से इसे मापता है कि दो ऑपरेटर किस सीमा तक कम्यूट करने में विफल होते हैं, अर्थात परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि ऑपरेटर किस क्रम में लागू होते हैं।
• हैमिल्टोनियन संक्रियक: क्वांटम यांत्रिकी में, किसी निकाय का हैमिल्टोनियन उस निकाय की कुल ऊर्जा के अनुरूप संक्रियक होता है, जिसमें गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों शामिल होती हैं।

स्पष्टीकरण:-

क्वांटम यांत्रिकी में, भौतिक राशियों को संक्रियकों द्वारा दर्शाया जाता है। ये संक्रियक क्वांटम अवस्थाओं (तरंग फलनों) पर कार्य करते हैं ताकि अवलोकन योग्य मान प्रदान किए जा सकें। इस स्थिति में, H निकाय की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाला हैमिल्टनियन संक्रियक है, p_x संवेग संक्रियक है और V(x) स्थितिज ऊर्जा फलन है।
दो संक्रियक A और B के कम्यूटेटर [A,B] को AB - BA के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हम कम्यूटेटर [H, px] की गणना करना चाहते हैं।

दिया गया है, H = Px ² /(2m) + V(x) जहाँ Px संवेग का ऑपरेटर है

और px संवेग का सामान्य प्रतिनिधित्व है।

इन ऑपरेटरों का कार्टेशियन निर्देशांक में मानक प्रतिनिधित्व है:

px = -iℏ d/dx

Px2 = (-iℏ)2 d²/dx² = -ℏ2 d²/dx²

आइए कम्यूटेटर की गणना करें।

[H, px] = [Px2/(2m) + V(x), -iℏ d/dx]

आइए हम एक-एक शब्द पर विचार करें।

[Px2/(2m), -iℏ d/dx] = (Px2/(2m))(-iℏ d/dx) - (-iℏ d/dx)(Px2/(2m))

[Px2/(2m), -iℏ d/dx]= -iℏ/(2m) Px2 d/dx + iℏ/(2m) d/dx Px2 = 0

अंतिम चरण इस तथ्य से आता है कि d/dx और Px² संचरित होते हैं क्योंकि दोनों में x के संबंध में विभेदन शामिल होता है।

इससे दूसरा पद हो जाता है:

[V(x), -iℏ d/dx] = V(x) x (-iℏ d/dx) - (-iℏ d/dx) x V(x) = -iℏ V'(x) + iℏ d/dx × V(x) = iℏ ([d/dx,V(x)]) = iℏ dV/dx
इसलिए, अंतिम कम्यूटेटर [H, px] = [Px2/(2m) + V(x), -iℏ d/dx] = 0 + iℏ dV/dx

निष्कर्ष में, [H, px] = iℏ dV/dx

निष्कर्ष:-

इसलिए, [H, p x ] = iℏ \(\rm \frac{dV}{dx}\)

अवधारणा:

रैखिक और स्थिति संवेग के लिए:

[x̂, p̂_x] = iℏ   ....(1)

[p̂_x, x̂] = -iℏ   ...(2)

[x̂ⁿ, p̂_x] = nx^n-1 [x, p̂_x]   ....(3)

[p̂_xⁿ, x̂] = np_x^n-1[p̂_x, x̂] .....(4)

व्याख्या:

दिया गया है → [x, p_x²]

→ अब समीकरण (4) और (1) का प्रयोग करके,

[x, p_x²] = 2 \(p_x^{2-1}\) [x, p_x]

= 2 p_x iℏ

∴ विकल्प '2' सही है।

[x, px2] = 2iℏp_x

संप्रत्यय:

किसी संकारक का आइगेनफलन एक ऐसा फलन होता है, जिस पर जब संकारक लागू किया जाता है, तो वह स्वयं फलन को एक अदिश गुणक (जिसे आइगेनमान कहते हैं) से गुणित करके लौटाता है।

किसी फलन, ψ(x), और संकारक, \(\hat{A}\) के लिए

\(\hat{A}\)ψ(x) = λψ(x)

यदि यह संबंध किसी दिए गए फलन और संकारक के लिए सही है, तो वह फलन उस संकारक का आइगेनफलन है, और λ आइगेनमान है।

व्याख्या:

विकल्प 1: संकारक \(\rm\frac{d^2}{dx^2}\) − x² फलन : \(\rm e^{− x^2/2}\)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) - x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

-e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (x²-1)e^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन है जिसका आइगेनमान -1 नहीं है।

संकारक: d²/dx² + x²
फलन: e^(-x²/2)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) + x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

(x²-1)e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (2x²-1)e^(-x²/2) ≠ λe^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन नहीं है।

इसलिए, दूसरा विकल्प सही उत्तर है।

पूर्णता के लिए, आइए शेष विकल्पों को शीघ्रता से सत्यापित करें।

संकारक: d²/dx²
फलन: cos(πx⁴)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(cos(πx⁴))

द्वितीय अवकलज लेने पर एक अधिक जटिल फलन प्राप्त होता है, जो cos(πx⁴) को एक स्थिरांक गुणक से गुणा करके वापस नहीं देगा, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन नहीं है।

संकारक: d²/dx²
फलन: e^(4ix)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(4ix))

द्वितीय अवकलज लेने पर प्राप्त होता है:

-16e^(4ix)

यह -16 से गुणा किया गया वही फलन है, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन है, जिसका आइगेनमान -16 है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, केवल विकल्प 2 अपने संगत संकारक का आइगेनफलन नहीं है।

सिद्धांत:-

रैखिक और स्थिति संवेग के लिए:

[x̂, p̂x] = iℏ ....(1)

[p̂x, x̂] = -iℏ ...(2)

[x̂n, p̂x] = nxn-1 [x, p̂x] ....(3)

[p̂xn, x̂] = npxn-1[p̂x, x̂] .....(4)

व्याख्या:-

• दिया गया है कि द्विक्परिवर्तक

\(\left[\widehat{A}^2,\widehat{B}\right] =\left[\widehat{A},\widehat{B}\right]\widehat{A}+\widehat{A}\left[\widehat{A},\widehat{B}\right]\)

• \(\left[x,[\widehat{p^2_x},x]\right]\)

= \(\left[x, \left[\widehat{p_x},\widehat{x}\right]\widehat{p_x}+\widehat{p_x}\left[\widehat{p_x},\widehat{x}\right ]\right]\)...........(5)

• अब समीकरण (4) और (1) का उपयोग करके,

[p̂x, x̂] = -iℏ

• अब, समीकरण (5) से हमें मिलता है,

\(\left[x, \left[\widehat{p_x},\widehat{x}\right]\widehat{p_x}+\widehat{p_x}\left[\widehat{p_x},\widehat{x}\right ]\right]\)

= \(\left[x, \left ( -i\hbar\right )\widehat{p_x}+\widehat{p_x}\left ( -i\hbar\right )\right]\)

= \(\left[x, -2i\hbar \widehat{p_x}\right]\)

= \( -2i\hbar \left[x, \widehat{p_x}\right]\)

= \( -2i\hbar \times i\hbar\)

= \( -2i^2\hbar^2 \)

= \( 2\hbar^2 \)

निष्कर्ष:-

इसलिए, \(\left[x,[\widehat{p^2_x},x]\right]\) का मान \( 2\hbar^2 \) है।

उत्तर iℏ \(\rm \frac{dV}{dx}\) है। 

अवधारणा:-

• कम्यूटेटर: कम्यूटेटर, जिसे [A, B] = AB-BA के रूप में दर्शाया जाता है, क्वांटम यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह अनिवार्य रूप से इसे मापता है कि दो ऑपरेटर किस सीमा तक कम्यूट करने में विफल होते हैं, अर्थात परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि ऑपरेटर किस क्रम में लागू होते हैं।
• हैमिल्टोनियन संक्रियक: क्वांटम यांत्रिकी में, किसी निकाय का हैमिल्टोनियन उस निकाय की कुल ऊर्जा के अनुरूप संक्रियक होता है, जिसमें गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों शामिल होती हैं।

स्पष्टीकरण:-

क्वांटम यांत्रिकी में, भौतिक राशियों को संक्रियकों द्वारा दर्शाया जाता है। ये संक्रियक क्वांटम अवस्थाओं (तरंग फलनों) पर कार्य करते हैं ताकि अवलोकन योग्य मान प्रदान किए जा सकें। इस स्थिति में, H निकाय की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करने वाला हैमिल्टनियन संक्रियक है, p_x संवेग संक्रियक है और V(x) स्थितिज ऊर्जा फलन है।
दो संक्रियक A और B के कम्यूटेटर [A,B] को AB - BA के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हम कम्यूटेटर [H, px] की गणना करना चाहते हैं।

दिया गया है, H = Px ² /(2m) + V(x) जहाँ Px संवेग का ऑपरेटर है

और px संवेग का सामान्य प्रतिनिधित्व है।

इन ऑपरेटरों का कार्टेशियन निर्देशांक में मानक प्रतिनिधित्व है:

px = -iℏ d/dx

Px2 = (-iℏ)2 d²/dx² = -ℏ2 d²/dx²

आइए कम्यूटेटर की गणना करें।

[H, px] = [Px2/(2m) + V(x), -iℏ d/dx]

आइए हम एक-एक शब्द पर विचार करें।

[Px2/(2m), -iℏ d/dx] = (Px2/(2m))(-iℏ d/dx) - (-iℏ d/dx)(Px2/(2m))

[Px2/(2m), -iℏ d/dx]= -iℏ/(2m) Px2 d/dx + iℏ/(2m) d/dx Px2 = 0

अंतिम चरण इस तथ्य से आता है कि d/dx और Px² संचरित होते हैं क्योंकि दोनों में x के संबंध में विभेदन शामिल होता है।

इससे दूसरा पद हो जाता है:

[V(x), -iℏ d/dx] = V(x) x (-iℏ d/dx) - (-iℏ d/dx) x V(x) = -iℏ V'(x) + iℏ d/dx × V(x) = iℏ ([d/dx,V(x)]) = iℏ dV/dx
इसलिए, अंतिम कम्यूटेटर [H, px] = [Px2/(2m) + V(x), -iℏ d/dx] = 0 + iℏ dV/dx

निष्कर्ष में, [H, px] = iℏ dV/dx

निष्कर्ष:-

इसलिए, [H, p x ] = iℏ \(\rm \frac{dV}{dx}\)

अवधारणा:

रैखिक और स्थिति संवेग के लिए:

[x̂, p̂_x] = iℏ   ....(1)

[p̂_x, x̂] = -iℏ   ...(2)

[x̂ⁿ, p̂_x] = nx^n-1 [x, p̂_x]   ....(3)

[p̂_xⁿ, x̂] = np_x^n-1[p̂_x, x̂] .....(4)

व्याख्या:

दिया गया है → [x, p_x²]

→ अब समीकरण (4) और (1) का प्रयोग करके,

[x, p_x²] = 2 \(p_x^{2-1}\) [x, p_x]

= 2 p_x iℏ

∴ विकल्प '2' सही है।

[x, px2] = 2iℏp_x

अवधारणा:

कोणीय संवेग संचालक और क्रम-विनिमेय संबंध

• कोणीय संवेग संचालक, जिन्हें \( L_x \,, L_y \), और \( L_z \) के रूप में दर्शाया गया है, क्रमशः x, y और z अक्षों के साथ कोणीय संवेग घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• क्वांटम यांत्रिकी यह निर्धारित करती है कि ये संचालक एक-दूसरे के साथ क्रम-विनिमेय नहीं होते हैं। यह विशिष्ट क्रम-विनिमेय संबंधों द्वारा दर्शाया गया है:
  • \( [L_x, L_y] = i \hbar L_z \): L_x और L_y का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_z \) देता है।
  • \( [L_y, L_z] = i \hbar L_x \): L_y और L_z का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_x\) देता है।
  • \( [L_z, L_x] = i \hbar L_y \): L_z और L_x का क्रम-विनिमेय \( i \hbar L_y\) देता है।
• ये क्रम-विनिमेय संबंध निहित करते हैं कि कोणीय संवेग के घटकों को मनमाने परिशुद्धता के साथ एक साथ मापा नहीं जा सकता है, जो क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक परिणाम है।

व्याख्या:

उत्थापन और अवरोहण संचालक: \( L_+ \) और \( L_-\)

• उत्थापन संचालक \( L_+ \) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  • \( L_+ = L_x + i L_y \)
• इसी प्रकार, अवरोहण संचालक \( L_-\) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  • \( L_- = L_x - i L_y \)
• ये संचालक हमें L_z के आइगेनमानों को स्थानांतरित करने की अनुमति देते हैं:
  • \( L_+ \) (उत्थापन संचालक) \( L_z\)-आइगेनमान को +1 से बढ़ाता है, प्रभावी रूप से क्वांटम अवस्था को "उठाता" है।
  • \( L_-\) (अवरोहण संचालक) \( L_z\)-आइगेनमान को -1 से घटाता है, प्रभावी रूप से क्वांटम अवस्था को "नीचे" करता है।
• ये संचालक परिभाषित कोणीय संवेग वाली प्रणाली के लिए क्वांटम अवस्थाओं के सोपानक्रम को बनाने या तोड़ने में महत्वपूर्ण हैं।

\( L_z \) और \( L_+ \) के बीच क्रम-विनिमेय संबंध

• यह निर्धारित करने के लिए कि \( L_z \) \( L_+ \) के साथ कैसे परस्पर क्रिया करता है, हम क्रम-विनिमेय संबंध \( [L_z, L_+] \) की गणना करते हैं:
  • \( [L_z, L_+] = L_z L_+ - L_+ L_z \)
• ज्ञात क्रम-विनिमेय संबंधों का उपयोग करके, हम पाते हैं:
  • \( L_z L_+ = L_z (L_x + i L_y) = L_z L_x + i L_z L_y \)
  • इसी प्रकार, \(L_+ L_z = (L_x + i L_y) L_z = L_x L_z + i L_y L_z \)
• फिर हम कोणीय संवेग क्रम-विनिमेय संबंधों का उपयोग करके प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं:
  • \( [L_z, L_x] = i \hbar L_y \) और \( [L_z, L_y] = -i \hbar L_x \)
  • इससे हमें प्राप्त होता है:
    • \( L_z L_x - L_x L_z = i \hbar L_y \)
    • \( L_z L_y - L_y L_z = -i \hbar L_x \)
• इनका संयोजन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
  • \( [L_z, L_+] = +L_+ \)

निष्कर्ष:

• सही विकल्प: विकल्प 1: \([L_z, L_+] = L_+\) है।

अवधारणा:

• दो संकारकों के दिक्परिवर्तक \({{\rm{\hat A}}}\) और \({\hat B}\) द्वारा निरूपित किया जाता है,

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]{\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right]\)

• किसी दिए गए दिक्परिवर्तक की गणना करने के लिए, एक यादृच्छिक फलन ( \(\Psi \) ) का उपयोग किया जाता है ताकि संकारक निम्न के रूप में काम कर सकें

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]\Psi {\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right]\Psi \)

• दो संकारकों को कहा जाता है कि जब उनके दिक्परिवर्तक शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए

\(\hat A\hat B = \hat B\hat A\)

• कोई भी दिक्परिवर्तक ( \({\hat A}\) ) अपने आप यात्रा करेगा,

\(\left[ {{\rm{\hat A, \hat A}}} \right]{\rm{ = 0}} \)

व्याख्या:

• हैमिल्टनियन संकारक (H) निम्न द्वारा दिया गया है,

H = \(\rm \frac{p^2_x}{2m}\) + V(x).

• अब, स्वेच्छिक फलन \(\Psi \) उपयोग x के साथ H के दिक्परिवर्तक की गणना करने के लिए किया जाता है।
• x के साथ H का दिक्परिवर्तक है:

\(\left[ {{\rm{\hat H,\hat x}}} \right]\Psi {\rm{ = }}\left[ {\hat H\hat x - \hat x\hat H} \right]\Psi \)

\( = \left[ {\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)x - x\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)} \right]\Psi \)

\( = \left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)x\Psi - x\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)\Psi \)

\( = {{{P_x}^2} \over {2m}}\left( {x\Psi } \right) + V(x)x\Psi - x{{{P_x}^2} \over {2m}}\Psi - xV(x)\Psi \)

\( = {1 \over {2m}}{\left( { - i\hbar {\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\left( {x\Psi } \right) - x{1 \over {2m}}{\left( { - i\hbar {\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\Psi \) \(\left[ {{P_x} = \left( { - i\hbar {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)} \right]\) \( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}{\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\left( {x\Psi } \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}{\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\Psi \)

\( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)\left( {\Psi + x{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) \)

\( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}} + x{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}} + {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) \)

\( =- {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {2{{\partial \Psi } \over {\partial x}} + x{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) \)

\( = -{{2{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) \)

\( = {{{i^2}{\hbar ^2}} \over m}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) \) \({i^2} = - 1\)

\( = - {{i\hbar } \over m}\left( { - i\hbar {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) \)

\( = {{i^2\hbar^2 } \over m}\left( { {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)\)>)

\( = - {{\hbar^2 } \over m}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)\) \(i^2=-1\) )

निष्कर्ष:

• इसलिए, x, \(\left[ {{\rm{\hat H,\hat x}}} \right]\Psi \) साथ H का दिक्परिवर्तक \(- {{\hbar^2 } \over m}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) \) है।

अवधारणा:

• दो संकरको \({{\rm{\hat A}}}\) और \({\hat B}\) के कम्यूटेटर निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है,

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]{\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right] \)

• किसी दिए गए कम्यूटेटर की गणना करने के लिए, एक स्वेच्छित फलन ( \(\Psi \) ) का उपयोग किया जाता है ताकि ऑपरेटर कार्य कर सकें, जो इस प्रकार दिया गया है:

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]\Psi {\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right]\Psi \)

• दो संकारको को कहा जाता है कि जब उनके संबंधित कम्यूटेटर शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए

\(\hat A\hat B = \hat B\hat A\)

• कोई भी कम्यूटेटर ( \({\hat A}\) ) अपने आप गति करेगा,

\(\left[ {{\rm{\hat A, \hat A}}} \right]{\rm{ = 0}} \)

व्याख्या:

संवेग संकारक (P_x) निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\widehat {{P_x}} = - i\hbar \widehat {{d \over {dx}}} \)

अब, P_x और x के कम्यूटेटर की गणना करने के लिए एक स्वेच्छिक फलन \(\Psi\) का उपयोग किया जाता है।

कम्यूटेटर निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(\left[ {\widehat {{x^4}},\widehat {{P_x}}} \right]\Psi \)

\( = \left[ {\widehat {{x^4}}\widehat {{P_x}} - \widehat {{P_x}}\widehat {{x^4}}} \right]\Psi \)

\( = \widehat {{x^4}}\widehat {{P_x}}\Psi - \widehat {{P_x}}\widehat {{x^4}}\Psi \)

\( = \widehat {{x^4}}\left( { - i\hbar \widehat {{d \over {dx}}}} \right)\Psi - \left( { - i\hbar \widehat {{d \over {dx}}}} \right)\widehat {{x^4}}\Psi \)

\( = - i\hbar {x^4}{{d\Psi } \over {dx}} + i\hbar \widehat {{d \over {dx}}}\left( {{x^4}\Psi } \right) \)

\( = - i\hbar {x^4}{{d\Psi } \over {dx}} + i\hbar \left( {{x^4}{{d\Psi } \over {dx}} + 4\Psi {x^3}} \right)\)

\( = - i\hbar {x^4}{{d\Psi } \over {dx}} + i\hbar {x^4}{{d\Psi } \over {dx}} + 4i\hbar {x^3}\Psi \)

\( = 4i\hbar {x^3}\Psi \)

इस प्रकार, कम्यूटेटर  \(4i\hbar {x^3}\)है

निष्कर्ष:

इसलिए, कम्यूटेटर [x4,Px] \(4i\hbar {x^3}\) के बराबर है

संप्रत्यय:

किसी संकारक का आइगेनफलन एक ऐसा फलन होता है, जिस पर जब संकारक लागू किया जाता है, तो वह स्वयं फलन को एक अदिश गुणक (जिसे आइगेनमान कहते हैं) से गुणित करके लौटाता है।

किसी फलन, ψ(x), और संकारक, \(\hat{A}\) के लिए

\(\hat{A}\)ψ(x) = λψ(x)

यदि यह संबंध किसी दिए गए फलन और संकारक के लिए सही है, तो वह फलन उस संकारक का आइगेनफलन है, और λ आइगेनमान है।

व्याख्या:

विकल्प 1: संकारक \(\rm\frac{d^2}{dx^2}\) − x² फलन : \(\rm e^{− x^2/2}\)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) - x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

-e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (x²-1)e^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन है जिसका आइगेनमान -1 नहीं है।

संकारक: d²/dx² + x²
फलन: e^(-x²/2)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) + x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

(x²-1)e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (2x²-1)e^(-x²/2) ≠ λe^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन नहीं है।

इसलिए, दूसरा विकल्प सही उत्तर है।

पूर्णता के लिए, आइए शेष विकल्पों को शीघ्रता से सत्यापित करें।

संकारक: d²/dx²
फलन: cos(πx⁴)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(cos(πx⁴))

द्वितीय अवकलज लेने पर एक अधिक जटिल फलन प्राप्त होता है, जो cos(πx⁴) को एक स्थिरांक गुणक से गुणा करके वापस नहीं देगा, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन नहीं है।

संकारक: d²/dx²
फलन: e^(4ix)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(4ix))

द्वितीय अवकलज लेने पर प्राप्त होता है:

-16e^(4ix)

यह -16 से गुणा किया गया वही फलन है, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन है, जिसका आइगेनमान -16 है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, केवल विकल्प 2 अपने संगत संकारक का आइगेनफलन नहीं है।

सही उत्तर है कि Â ऐकिक है।

संकल्पना:-

सामान्यीकृत तरंग फलन- क्वांटम यांत्रिकी में एक सामान्यीकृत तरंग फलन एक ऐसा तरंग फलन है जो इस शर्त को पूरा करता है कि इसके परिमाण के वर्ग का सम्पूर्ण स्थान पर समाकलन 1 के बराबर है। यह सामान्यीकरण शर्त यह सुनिश्चित करती है कि तरंग फलन कण की स्थिति के लिए एक मान्य प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

एकल कण के लिए, तरंग फलन के लिए सामान्यीकरण शर्त है:

\(\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 \, dx = 1 \).

व्याख्या:-

ψ = Âϕ एक सामान्यीकृत फलन है

\(\int({\hat A}\phi)^{\dagger}({\hat A}\phi)\mathrm{d}\tau\ =\ 1\\\int\phi^{\dagger}A^{\dagger}A\phi\ \mathrm{d}\tau\ =\ 1\\\int\phi^{\dagger}\phi\ \mathrm{d}\tau\ =\ 1 \)

इसलिए, \(\phi \) सामान्यीकृत होगा यदि \(A^{\dagger}A\ =\ 1\)

निष्कर्ष:-

एक सामान्यीकृत तरंग फलन ψ = Âϕ, तब ϕ भी सामान्यीकृत होगा जब Â ऐकिक है।