Particle-in-a-box MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Particle-in-a-box - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

वर्गाकार बॉक्स में क्वांटम कण

• एक बॉक्स-में-कण प्रणाली में, एक कण का तरंग फलन एक ज्यावक्रीय फलन द्वारा दिया जाता है। प्रायिकता घनत्व तरंग फलन के वर्ग के समानुपाती होता है।
• L भुजा वाले द्वि-आयामी वर्गाकार बॉक्स में एक कण के लिए तरंग फलन निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है:
  ψₙ₁ₙ₂(x, y) = √(2/L) * sin(n₁πx/L) * √(2/L) * sin(n₂πy/L)
• किसी विशेष स्थान (x, y) पर कण को खोजने की प्रायिकता |ψₙ₁ₙ₂(x, y)|² द्वारा दी जाती है।
• कण को खोजने के लिए सबसे अधिक संभावित स्थान आमतौर पर प्रायिकता घनत्व फलन के अधिकतम बिंदुओं पर होते हैं, जहाँ तरंग फलन के ज्यावक्रीय पद अपने चरम पर होते हैं।

व्याख्या:

दिया गया है n₁ = 1 और n₂ = 2

x-निर्देशांक के लिए:

हमें \((1πx/l) = (k + ½)π\) चाहिए। सबसे छोटा धनात्मक हल तब होता है जब k = 0:

\(πx/l = π/2 => x = l/2\)

y-निर्देशांक के लिए:

हमें \((2πy/l) = (k + ½)π\) चाहिए। सबसे छोटा धनात्मक हल तब होता है जब k = 0:

\(2πy/l = π/2 => y = l/4\)

• क्वांटम संख्याओं n₁ = 1 और n₂ = 2 के लिए, x और y के लिए ज्यावक्रीय फलनों की उच्चतम प्रायिकता होगी जहाँ वे अधिकतम होते हैं। यह x = L/2 और y = L/4 पर होता है, जो संबंधित ज्यावक्रीय फलनों के पहले अधिकतम के अनुरूप है।
• इस प्रकार, कण का सबसे अधिक संभावित स्थान x = L/2 और y = L/4 पर है, क्योंकि इस बिंदु पर प्रायिकता घनत्व सबसे अधिक होगा।

इसलिए, सही उत्तर है: x = L/2 और y = L/4।

संकल्पना:

आयताकार बॉक्स में आकस्मिक अपभ्रंश

• क्वांटम यांत्रिकी में, एक आयताकार बॉक्स में सीमित एक कण (जिसे बॉक्स में कण समस्या के रूप में भी जाना जाता है) में सूत्र द्वारा दिए गए असतत ऊर्जा स्तर होते हैं:

  \(E = (h²/8m) * [(n₁² / L₁²) + (n₂² / L₂²)]\)

• आकस्मिक अपभ्रंश तब होता है जब क्वांटम संख्याओं के दो अलग-अलग समुच्चय समान ऊर्जा मान उत्पन्न करते हैं।
  • दो अलग-अलग बॉक्स आयामों (L₁, L₂) वाली प्रणाली के लिए, ऊर्जा प्रत्येक आयाम के लिए क्वांटम संख्याओं n₁ और n₂ के मानों पर निर्भर करती है।
  • ऐसे मामलों में, ऊर्जा स्तर अपभ्रष्ट होते हैं जब अलग-अलग क्वांटम संख्याएँ समान ऊर्जा स्तर देती हैं।

व्याख्या:

एक आयताकार बॉक्स में एक अवस्था की ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

\(E = (h²/8m) * [(n₁² / L₁²) + (n₂² / L₂²)]\)

दी गई प्रणाली में भुजाएँ L₁ = L और L₂ = 2L हैं, और हमें उस अवस्था (n₁, n₂) की पहचान करने की आवश्यकता है जो अवस्था (4, 4) के साथ अपभ्रष्ट है।

n1 =4, n2 = 4 और L1 और L2 = L के लिए

\(E = (h²/8m) * [(4² / L₁²) + (4² / L₂²)]\)

\(E = 4h²/m L²\)

n1 =2, n2 = 8 और L1 = L, L2 = 2L के लिए

\(E = (h²/8m) * [(4² / L²) + (64 / (4L²))]\)

\(E = 4h²/m L²\)

गणना के माध्यम से, हम पाते हैं कि अवस्था (n₁ = 2, n₂ = 8) लंबाई और क्वांटम संख्याओं के बीच संबंध के कारण (n₁ = 4, n₂ = 4) के समान ऊर्जा देती है।

इसलिए, सही उत्तर n₁ = 2; n₂ = 8 है।

सही उत्तर:

A) E1 = 6.025 x 10-20 J; ΔE = 18.075 x 10-20 J; प्रायिकता = 0.0486

व्याख्या:

बॉक्स में इलेक्ट्रॉन की न्यूनतम ऊर्जा इस प्रकार दी गई है:

E1 = (h2) / (8mL2), जहाँ:

मान प्रतिस्थापित करने पर:

E1 = (6.626 x 10-34)2 / (8 x 9.109 x 10-31 x (1 x 10-9)2)

E1 ≈ 6.025 x 10-20 J.

ΔE = E2 - E1, जहाँ E2 = 4E1.

ΔE = 4E1 - E1 = 3E1.

ΔE = 3 x 6.025 x 10-20 J = 18.075 x 10-20 J.

प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P = ∫|ψ|2 dx = (2/L) ∫sin2(πx/L) dx (x = 0 से x = 0.2 nm तक).

मान प्रतिस्थापित करने पर:

P = (2/1 nm) ∫00.2 sin2(πx/1 nm) dx.

त्रिकोणमितीय समाकलन और सीमाओं का उपयोग करके, प्रायिकता लगभग 0.0486 है।

1. न्यूनतम ऊर्जा (E1):
   • h = प्लांक नियतांक = 6.626 x 10-34 J·s
   • m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.109 x 10-31 kg
   • L = बॉक्स की लंबाई = 1 nm = 1 x 10-9 m
2. न्यूनतम उत्तेजन ऊर्जा (ΔE):
3. इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता:

निष्कर्ष:

सही मान हैं सही उत्तर: A

सही उत्तर हैn = 1 के लिए: P = 0.031, n = 2 के लिए: P = 0.029

व्याख्या:

P ≈ (2Δx / L) · sin2(nπx / L).

• प्रायिकता का सूत्र दिया गया है:
• n = 1 और n = 2, x = 0.66L, और Δx = 0.02L के मान प्रतिस्थापित कीजिए:

  P = (2 x 0.02L / L) · sin2(π x 0.66)

  = 0.04 · sin2(0.66π)

  ≈ 0.031.

  P = (2 x 0.02L / L) · sin2(2π x 0.66)

  = 0.04 · sin2(1.32π)

  ≈ 0.029.

  • n = 1 के लिए:
    
  • n = 2 के लिए:
    

निष्कर्ष:

सन्निकट प्रायिकताएँ हैं n = 1 के लिए: P = 0.031 और n = 2 के लिए: P = 0.029

अवधारणा:

एक-आयामी बॉक्स में कण

• एक-आयामी बॉक्स के किसी विशिष्ट क्षेत्र में कण को खोजने की प्रायिकता तरंग फलन के वर्ग द्वारा निर्धारित होती है।
• L लम्बाई के बॉक्स में एक कण के लिए सामान्यीकृत तरंग फलन इस प्रकार दिया गया है:

  ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L)

• [a, b] क्षेत्र में कण को खोजने की प्रायिकता है:

  \(P = ∫_a^b|ψn(x)|² dx\)

• क्वांटम संख्या n = 1 के लिए, तरंग फलन बन जाता है:

  \(ψ_1(x) = √(2/L) sin(πx/L)\)

व्याख्या:

• हमें n = 1 के लिए [L/4, 3L/4] क्षेत्र में कण को खोजने की प्रायिकता की गणना करने की आवश्यकता है।
• प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

  \(P = ∫_{L/4}^{3L/4}|ψ1(x)|² dx\)

  \(= ∫_{L/4}^{3L/4} (2/L) sin²(πx/L) dx\)

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(sin²(θ) = (1 - cos(2θ))/2\) का उपयोग करते हुए:

  \(P = (2/L) ∫_{L/4}^{3L/4} (1 - cos(2πx/L))/2 dx\\ = (1/L) ∫_{L/4}^{3L/4} (1 - cos(2πx/L)) dx\)

• समाकल को विभाजित करें:

  \(P = (1/L) [∫_{L/4}^{3L/4}1 dx - ∫_{L/4}^{3L/4}cos(2πx/L) dx]\)

• प्रत्येक पद का मूल्यांकन करें:
  • \(∫_{L/4}^{3L/4}1 dx = (3L/4 - L/4) = L/2\\ ∫_{L/4}^{3L/4}cos(2πx/L) dx = [sin(2πx/L)/(2π/L)]_{L/4}^{3L/4}\\ = (L/2π) [sin(2π × (3L/4) / L) - sin(2π × (L/4) / L)]\\ = (L/2π) [sin(3π/2) - sin(π/2)]\\ = (L/2π) [-1 - 1] = -L/π\)
• प्रायिकता व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

  \(P = (1/L) [(L/2) - (-L/π)]\\ = 1/2 + 1/π\)

इसलिए, [L/4, 3L/4] क्षेत्र में कण को खोजने की प्रायिकता 1/2 + 1/π है।

संकल्पना:-

एक दिशीय (1D) बॉक्स, जिसे एक आयामी बॉक्स में कण या बॉक्स में कण के रूप में भी जाना जाता है, एक सरल क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जो आमतौर पर दो दीवारों या बाधाओं के बीच एक आयामी क्षेत्र में स्थानांतरित होने के लिए सीमित कण के व्यवहार का वर्णन करता है।

दिया गया है:

\({h^2 \over 8m} = k\)

C-C की औसत बंधन लंबाई = 1.5 Å

व्याख्या:-

10 बंधों वाले पूरे संयुग्मित तंत्र के लिए बंध लंबाई है

= 1.5 x10

=15 Å

हम जानते हैं कि,

\(∆E=hν={(∆n)^2}{h^2 \over 8ma^2}\)

\(∆E={(∆n)^2}{k \over 15^2}\)

दिए गए संयुग्मित तंत्र में 10π इलेक्ट्रॉन निम्नलिखित तरीके से व्यवस्थित होते हैं -

10 π इलेक्ट्रॉन आद्य अवस्था बनाते हैं और पहला संक्रमण अवस्था n= 6 पर न्यूनतम संक्रमण स्तर पर होता है।

\(∆E={(6^2 -5^2)}{k \over 225}\)

\(∆E={11k \over 225}\)

• अब, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक आवृत्ति है,

\(∆E=hν={11k \over 225}\)

\(ν={11k \over 225 h}\)

निष्कर्ष:-

इसलिए, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक विकिरण की आवृत्ति \(\frac{11\,k}{225\,h}\) है।

संप्रत्यय:

एक त्रि-आयामी घनीय बॉक्स में, एक कण की ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

\(E = h²(n₁² + n₂² + n₃²) / 8mL²\)

जहाँ: E ऊर्जा है, h प्लांक नियतांक है, n₁, n₂, और n₃ कण से संबंधित क्वांटम संख्याएँ हैं (ये कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं), m कण का द्रव्यमान है, और L बॉक्स की लंबाई है।

व्याख्या:

आपको दिया गया है कि ऊर्जा E 27h²/ 8mL² है। इसे ऊर्जा समीकरण के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(27h² / 8mL² = h²(n₁² + n₂² + n₃²) / 8mL²\)

n₁² + n₂² + n₃² के लिए हल करने पर, हम पाते हैं कि यह 27 के बराबर है। इसका मतलब है कि तीन क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग 27 है।

क्वांटम संख्याओं (n₁, n₂, n₃) के संभावित समुच्चय जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, वे हैं (3, 3, 3), (1, 1, 5), (1, 5, 1), और (5, 1, 1)। क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय कण की एक अलग अवस्था से मेल खाता है, इसलिए इस ऊर्जा वाली चार अवस्थाएँ हैं।

निष्कर्ष:-

इसलिए, \(27h² / 8mL²\) ऊर्जा वाली अवस्था का अपभ्रंश (degeneracy) 4 है

अवधारणा:

संवेग संचालक का औसत मान:

एक 1D बॉक्स के लिए, संवेग संचालक को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है,

\(\widehat P = - i\hbar \widehat {{d \over {dx}}}\).

इस प्रकार, \({\widehat P^2} = \left[ {{{\left( { - i\hbar } \right)}^2}{{\widehat {\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)}}^2}} \right]\)

0 से ℓ तक के 1D बॉक्स में एक कण के लिए, तरंग फलन \(\psi = \sqrt {{2 \over ℓ}} \sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)\) है।

ℓ भुजा लंबाई वाले 1D बॉक्स में एक कण के लिए, P² का औसत मान या प्रत्याशा मान है

\(\left\langle {{{\widehat P}^2}} \right\rangle = \int\limits_0^ℓ {{\Psi ^*}{{\widehat P}^2}\Psi dx} \)

\( = \int\limits_0^A {{\Psi ^*}\left[ {{{\left( {{{\left( - i\hbar \right)}}{\partial \over {\partial x}}} \right)}^2}} \right]\Psi dx} \)

\( = \int\limits_0^A {{{\left( {\sqrt {{2 \over ℓ}} \sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)} \right)}^*}\left[ {{{\left( {{{\left( { - i\hbar } \right)}}{\partial \over {\partial x}}} \right)}^2}} \right]\left( {\sqrt {{2 \over ℓ}} \sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)} \right)dx} \)

\( = - {2 \over ℓ}{\hbar ^2}{{n\pi } \over ℓ}\int\limits_0^ℓ{\sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)\cos \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)dx} \)

\( = {2 \over ℓ}{\hbar ^2}{\left( {{{n\pi } \over ℓ}} \right)^2}\int\limits_0^ℓ{\sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)\sin \left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)dx} \)

\( = {{{\hbar ^2}} \over ℓ}{\left( {{{n\pi } \over ℓ}} \right)^2}\int\limits_0^ℓ{2{{\sin }^2}\left( {{{n\pi x} \over ℓ}} \right)dx} \)

\( = {{{\hbar ^2}} \over ℓ}{\left( {{{n\pi } \over ℓ}} \right)^2}\int\limits_0^ℓ {\left[ {1 - \cos \left( {{{2n\pi x} \over ℓ}} \right)} \right]dx} \)

\( = {{{\hbar ^2}} \over ℓ}{\left( {{{n\pi } \over ℓ}} \right)^2}\left[ {\int\limits_0^ℓ {dx} - \int\limits_0^ℓ {\cos \left( {{{2n\pi x} \over ℓ}} \right)dx} } \right]\)

\( = {{{n^2}{\pi ^2}{h^2}} \over {4{\pi ^2}{ℓ^3}}}\left[ {ℓ - 0} \right]\)

\( = {{{n^2}{h^2}} \over {4{ℓ^2}}}\)

व्याख्या:

• 1D-बॉक्स में एक कण के लिए, P² का औसत मान या प्रत्याशा मान है

\(\left\langle {{{\widehat P}^2}} \right\rangle \) = \({{{n^2}{h^2}} \over {4{ℓ^2}}}\)

• उत्तेजित अवस्था में ऊर्जा के एक विशेष मान वाले कण में कई अलग-अलग स्थिर अवस्थाएँ या तरंग फलन हो सकते हैं। यदि ऐसा है, तो इन अवस्थाओं और ऊर्जा आइगेनमान को अपभ्रष्ट कहा जाता है।
• भुजा लंबाई ℓ वाले 3D बॉक्स में एक कण के लिए, तरंग फलन Ψnxnynz (x, y, z) =\(\rm \left( {\frac{2}{\ell }} \right)^{3/2} sin \frac{2 \pi x}{ℓ}sin \frac{3 \pi y}{ℓ}sin \frac{2 \pi z}{ℓ}\)के साथ, nx, ny, और nz का मान क्रमशः 2, 3 और 2 है।
• इसी प्रकार, भुजा लंबाई ℓ वाले 3D बॉक्स में एक कण के लिए, P² का औसत मान या प्रत्याशा मान \(\left\langle {{{\widehat P}^2}} \right\rangle \) है।

= \(\left( {{n_x}^2 + {n_y}^2 + {n_z}^2} \right){{{h^2}} \over {4{A^2}}} \)

• ℓ भुजा वाले घनीय बॉक्स में एक कण के लिए तरंग फलन

​Ψnxnynz (x, y, z) =\(\rm \left( {\frac{2}{\ell }} \right)^{3/2} sin \frac{2 \pi x}{ℓ}sin \frac{3 \pi y}{ℓ}sin \frac{2 \pi z}{ℓ}\),

n_x, n_y, और n_z का मान क्रमशः 2, 3 और 2 है।

निष्कर्ष:

इसलिए, ℓ भुजा वाले घनीय बॉक्स में एक कण के P² का प्रत्याशा मान 

\(\left( {{2^2} + {3^2} + {2^2}} \right){{{h^2}} \over {4{l^2}}} = {{17{h^2}} \over {4{l^2}}}\) है।

संकल्पना:

• दो संकारकों \({{\rm{\hat A}}}\) और \({\hat B}\) के क्रमविनिमय को इस प्रकार दर्शाया जाता है,

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]{\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right]\)

• किसी दिए गए क्रमविनिमय की गणना करने के लिए, एक स्वेच्छ फलन (\(\Psi \)) का उपयोग किया जाता है ताकि संकारक इस प्रकार कार्य कर सकें

\(\left[ {{\rm{\hat A,\hat B}}} \right]\Psi {\rm{ = }}\left[ {{\rm{\hat A\hat B - \hat B\hat A}}} \right]\Psi \)

• दो संकारकों को क्रमविनिमय कहा जाता है जब उनके क्रमविनिमय शून्य के बराबर होते हैं, इसलिए

​\(\hat A\hat B = \hat B\hat A\)

• कोई भी क्रमविनिमय (\({\hat A}\)) स्वयं के साथ क्रमविनिमय होगा,

\(\left[ {{\rm{\hat A, \hat A}}} \right]{\rm{ = 0}}\)

व्याख्या:

• हैमिल्टोनियन संकारक (H) इस प्रकार दिया गया है,

H = \(\rm \frac{p^2_x}{2m}\) +V(x).

• अब, स्वेच्छ फलन \(\Psi \) का उपयोग H के साथ x के क्रमविनिमयक की गणना करने के लिए किया जाता है।
• H के साथ x का क्रमविनिमय है:

​\(\left[ {{\rm{\hat H,\hat x}}} \right]\Psi {\rm{ = }}\left[ {\hat H\hat x - \hat x\hat H} \right]\Psi \)

\( = \left[ {\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)x - x\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)} \right]\Psi \)

\( = \left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)x\Psi - x\left( { {{{P_x}^2} \over {2m}} + V(x)} \right)\Psi \)

\( = {{{P_x}^2} \over {2m}}\left( {x\Psi } \right) + V(x)x\Psi - x{{{P_x}^2} \over {2m}}\Psi - xV(x)\Psi \)

\( = {1 \over {2m}}{\left( { - i\hbar {\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\left( {x\Psi } \right) - x{1 \over {2m}}{\left( { - i\hbar {\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\Psi \), as\(\left[ {{P_x} = \left( { - i\hbar {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)} \right]\) \( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}{\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\left( {x\Psi } \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}{\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)^2}\Psi \)

\( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{\partial \over {\partial x}}} \right)\left( {\Psi + x{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right)\)

\( = - {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}} + x{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}} + {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right)\)

\( =- {{{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {2{{\partial \Psi } \over {\partial x}} + x{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right)\)

\( = -{{2{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right) + {{x{\hbar ^2}} \over {2m}}\left( {{{{\partial ^2}\Psi } \over {\partial {x^2}}}} \right)\)

\( = {{{i^2}{\hbar ^2}} \over m}\left( {{{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)\) as, \({i^2} = - 1\)

\( = - {{i\hbar } \over m}\left( { - i\hbar {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)\)

\( = - {{i\hbar } \over m}{P_x}\), as \(\left[ {{P_x} = \left( { - i\hbar {{\partial \Psi } \over {\partial x}}} \right)} \right]\)​

निष्कर्ष:

इसलिए, H के साथ x का क्रमविनिमय, \(\left[ {{\rm{\hat H,\hat x}}} \right]\Psi\), है

​\( - {{i\hbar } \over m}{P_x}\)

उत्तर 2 है। 

अवधारणा:-

• क्वांटम बॉक्स या बॉक्स पोटेंशियल: यह क्वांटम यांत्रिकी में अपनी सरलता तथा इस तथ्य के कारण प्रयुक्त होने वाला एक सामान्य पोटेंशियल है कि यह श्रोडिंगर समीकरण को यथार्थ रूप से हल करता है।
• ऊर्जा परिमाणीकरण: यह क्वांटम यांत्रिक प्रणालियों की विशेषता है, जहां वे केवल कुछ निश्चित ऊर्जा अवस्थाओं में ही विद्यमान रह सकते हैं, किसी भी यादृच्छिक मात्रा में ऊर्जा में नहीं।
• यह क्वांटम यांत्रिकी का एक सिद्धांत है, जहाँ कोई भी दो फर्मिऑन (आधे पूर्णांक स्पिन वाले कण) एक ही समय में समान क्वांटम अवस्था में नहीं रह सकते हैं।

स्पष्टीकरण:-

E = h²/8m x (nx²/Lx² + ny²/Ly²)

दिया गया है: L x = 2L y

E = h²/8mLy² x (nx²/4+ ny²/1)

दिया गया है: E = \(\rm\frac{10h^2}{8mL_y^2}\)

परस्पर तुलना करने पर,

nx²/4+ ny²/1 = 10
nx²+ 4 ny² = 40

अब nx = 2 और ny = 3 रखने पर,
या nx= 6 और ny=1
इसलिए दो संभावनाएँ हैं: (2, 3) और (6, 1)

निष्कर्ष:-

इसलिए, पतनशीलता 2 है। 

संकल्पना:-

एक दिशीय (1D) बॉक्स, जिसे एक आयामी बॉक्स में कण या बॉक्स में कण के रूप में भी जाना जाता है, एक सरल क्वांटम यांत्रिक मॉडल है जो आमतौर पर दो दीवारों या बाधाओं के बीच एक आयामी क्षेत्र में स्थानांतरित होने के लिए सीमित कण के व्यवहार का वर्णन करता है।

दिया गया है:

\({h^2 \over 8m} = k\)

C-C की औसत बंधन लंबाई = 1.5 Å

व्याख्या:-

10 बंधों वाले पूरे संयुग्मित तंत्र के लिए बंध लंबाई है

= 1.5 x10

=15 Å

हम जानते हैं कि,

\(∆E=hν={(∆n)^2}{h^2 \over 8ma^2}\)

\(∆E={(∆n)^2}{k \over 15^2}\)

दिए गए संयुग्मित तंत्र में 10π इलेक्ट्रॉन निम्नलिखित तरीके से व्यवस्थित होते हैं -

10 π इलेक्ट्रॉन आद्य अवस्था बनाते हैं और पहला संक्रमण अवस्था n= 6 पर न्यूनतम संक्रमण स्तर पर होता है।

\(∆E={(6^2 -5^2)}{k \over 225}\)

\(∆E={11k \over 225}\)

• अब, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक आवृत्ति है,

\(∆E=hν={11k \over 225}\)

\(ν={11k \over 225 h}\)

निष्कर्ष:-

इसलिए, तंत्र की आद्य अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करने के लिए आवश्यक विकिरण की आवृत्ति \(\frac{11\,k}{225\,h}\) है।

संकल्पना:-

• द्विविमीय आयताकार बॉक्स में एक कण के लिए, ऊर्जा को नीचे दिए गए अनुसार दर्शाया जा सकता है:

\(E_{2D\; rectangular}= \frac{h^{2}}{8m}\left [ \frac{n_{x^{2}}}{l_{x^{2}}} + \frac{n_{y^{2}}}{l_{y^{2}}} \right ] \)​

व्याख्या:-

• जब nx = 1, ny = 6, Lx = 1 और L_y= l_y, ऊर्जा इस प्रकार होगी,

\(E_{16}= \frac{h^{2}}{8m}\left [ \frac{{1^{2}}}{{1^{2}}} + \frac{{6^{2}}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

या, \(E_{1,}= \frac{h^{2}}{8m}\left [ 1 + \frac{{36}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

• साथ ही, जब nx = 3, ny = 2, Lx = 1 और Ly= ly, ऊर्जा इस प्रकार होगी,

​\(E_{32}= \frac{h^{2}}{8m}\left [ \frac{{3^{2}}}{{1^{2}}} + \frac{{2^{2}}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

या, \(E_{32}= \frac{h^{2}}{8m}\left [ 9 + \frac{{4}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

• चूँकि ऊर्जा स्तर पतित हैं (E₁₆=E₃₂), इसलिए हमें प्राप्त होता है,

\(\frac{h^{2}}{8m}\left [ 1 + \frac{{36}}{l_{y^{2}}} \right ] =\frac{h^{2}}{8m}\left [ 9 + \frac{{4}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

या, \(\left [ 1 + \frac{{36}}{l_{y^{2}}} \right ] =\left [ 9 + \frac{{4}}{l_{y^{2}}} \right ] \)

या, \(\left [ \frac{{36}}{l_{y^{2}}}- \frac{{4}}{l_{y^{2}}} \right ] =\left [ 9 - 1 \right ] \)

या, \(\left [ \frac{{32}}{l_{y^{2}}} \right ] =\left [ 8 \right ] \)

या, l_y² = 4

या, l_y = 2

• इस प्रकार, यदि Lx = 1 उपयुक्त इकाइयों में है, तो Ly 2 है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, Ly 2 है।

संकल्पना:-

• l लंबाई के एक 1D बॉक्स में एक कण की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(E = {{{n}^2{h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

• l लंबाई के एक 2D बॉक्स में एक कण की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(E = {{({n_x}^2 + {n_y}^2){h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

• l लंबाई के एक 2D बॉक्स में एक कण की ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है,

\(E = {{({n_x}^2 + {n_y}^2+n_z^2){h^2}} \over {8m{l^2}}}\)

व्याख्या:-

1-D बॉक्स में, \(\rm \Delta E=5\left(\frac{h^2}{8 m \ell^2}\right) \text { और 2-D बॉक्स में } \Delta E=3\left(\frac{h^2}{8 m \ell^2 }\right) \)

और 3-D बॉक्स में, \(\rm \Delta E=3\left(\frac{h^2}{8 m \ell^2}\right) \)

निष्कर्ष:-

सही विकल्प (c) है

संप्रत्यय:

एक त्रि-आयामी घनीय बॉक्स में, एक कण की ऊर्जा निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:

\(E = h²(n₁² + n₂² + n₃²) / 8mL²\)

जहाँ: E ऊर्जा है, h प्लांक नियतांक है, n₁, n₂, और n₃ कण से संबंधित क्वांटम संख्याएँ हैं (ये कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं), m कण का द्रव्यमान है, और L बॉक्स की लंबाई है।

व्याख्या:

आपको दिया गया है कि ऊर्जा E 27h²/ 8mL² है। इसे ऊर्जा समीकरण के बराबर रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(27h² / 8mL² = h²(n₁² + n₂² + n₃²) / 8mL²\)

n₁² + n₂² + n₃² के लिए हल करने पर, हम पाते हैं कि यह 27 के बराबर है। इसका मतलब है कि तीन क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग 27 है।

क्वांटम संख्याओं (n₁, n₂, n₃) के संभावित समुच्चय जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, वे हैं (3, 3, 3), (1, 1, 5), (1, 5, 1), और (5, 1, 1)। क्वांटम संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय कण की एक अलग अवस्था से मेल खाता है, इसलिए इस ऊर्जा वाली चार अवस्थाएँ हैं।

निष्कर्ष:-

इसलिए, \(27h² / 8mL²\) ऊर्जा वाली अवस्था का अपभ्रंश (degeneracy) 4 है

सही उत्तर हैn = 1 के लिए: P = 0.031, n = 2 के लिए: P = 0.029

व्याख्या:

P ≈ (2Δx / L) · sin2(nπx / L).

• प्रायिकता का सूत्र दिया गया है:
• n = 1 और n = 2, x = 0.66L, और Δx = 0.02L के मान प्रतिस्थापित कीजिए:

  P = (2 x 0.02L / L) · sin2(π x 0.66)

  = 0.04 · sin2(0.66π)

  ≈ 0.031.

  P = (2 x 0.02L / L) · sin2(2π x 0.66)

  = 0.04 · sin2(1.32π)

  ≈ 0.029.

  • n = 1 के लिए:
    
  • n = 2 के लिए:
    

निष्कर्ष:

सन्निकट प्रायिकताएँ हैं n = 1 के लिए: P = 0.031 और n = 2 के लिए: P = 0.029