Partial Orders MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Partial Orders - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 29, 2025
Latest Partial Orders MCQ Objective Questions
Partial Orders Question 1:
यदि L = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 36} जालक है, तो नीचे दिए गए हैस आरेख में 9 के पूरकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 1 Detailed Solution
→ (9, 1) का LUB = 9
∴ 1 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 2) का LUB = 36
(9, 2) का GLB = 1
∴ 2 इसके पूरक में है।
→ (9, 3) का LUB = 9
∴ 3 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 4) का LUB = 36
(9, 4) का GLB = 1
∴ 4 इसका पूरक है।
→ (9, 6) का LUB = 36
(9, 6) का GLB = 3
∴ 6 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 36) का LUB = 36
(9, 36) का GLB = 9
∴ 36 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
9 के पूरक: 2 और 4 है।
महत्वपूर्ण बिंदु:
GLB महत्तम निम्न परिबंध है।
LUB न्यूनतम उपरि परिबंध है।Partial Orders Question 2:
यदि A = {x, y} है, तो A का घात समुच्चय है:
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
A = {x, y}
गणना:
A के उप-समुच्चय ϕ, {x}, {y}, {x, y} हैं,
∴ P(A) = {ϕ, {x}, {y} {x, y}}
सही उत्तर विकल्प 4 है।
Partial Orders Question 3:
निम्नलिखित आंशिकतः क्रमित समुच्चयों में से कौन-सी एक शृंखला है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
एक आंशिक क्रम समुच्चय, या आंशिकत: क्रमित समुच्चय, एक शृंखला है यदि समुच्चय में प्रत्येक a और b के लिए, या तो a ≤ b या b ≤ a
स्पष्टीकरण:
अतः (3) सही है।
Partial Orders Question 4:
प्रत्येक अरिक्त समुच्च्य जो ऊपर परिबद्ध है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 4 Detailed Solution
हल:
प्रत्येक अरिक्त समुच्च्य जो ऊपर परिबद्ध है, उसकी ऊपरी सीमा न्यूनतम है।
और इसकी अद्वितीय न्यूनतम ऊपरी सीमा है।
(2) सही है।
Partial Orders Question 5:
माना कि A={1,2,3,4,6,24,36,72}, मान लीजिए ≤ आंशिक क्रम है जो A≤B द्वारा परिभाषित है यदि a, b को विभाजित करता है। (A,≤) के हैस आरेख में किनारों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 5 Detailed Solution
एक हैस आरेख आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय का एक चित्रात्मक प्रतिपादन है जो आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय के कवर संबंध के माध्यम से एक अंतर्निहित ऊपरी अभिविन्यास के साथ प्रदर्शित होता है।
हैस आरेख में किनारों की संख्या 11 है।
अत: सही उत्तर 11 है।
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मान लीजिए ℒ = {p, q, r, s, t} एक जालक है जिसे निम्नलिखित हैस आरेख द्वारा दर्शाया गया है:
किसी भी x, y ∈ ℒ के लिए (जो आवश्यक रूप से भिन्न नहीं हैं), x ⋁ y और x ⋀ y क्रमशः x, y के सम्मिलन और मिलन हैं। मान लीजिए ℒ3 = {(x, y, z): x, y, z ∈ ℒ} ℒ के अवयवों के सभी क्रमित त्रिकों का समुच्चय है। मान लीजिए pr प्रायिकता है कि ℒ3 से समप्रायिक रूप से चुना गया कोई अवयव (x, y, z) x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) को संतुष्ट करता है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFℒ = {p, q, r, s, t}
|ℒ| = 5
इसलिए |ℒ3| = 5 x 5 x 5 = 125
जालक का उदाहरण
[{1,2,3,5,30};/] का हैस आरेख
x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) जो निम्न को संतुष्ट करता है
2 ⋁ (3 ⋀ 1) ≡ 2 ⋁ 1 ≡ 1
(2 ⋁ 3) ⋀ (2 ⋁ 1) ≡ 1 ⋀ 1 ≡ 1
L.H.S = R.H.S
इसलिए, pr ≠ 0
x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) जो निम्न को संतुष्ट नहीं करता है
2 ⋁ (3 ⋀ 5) ≡ 2 ⋁ 1 ≡ 2
(2 ⋁ 3) ⋀ (2 ⋁ 5) ≡ 1 ⋀ 1 ≡ 1
L.H.S ≠ R.H.S
इसलिए, pr ≠ 1
{2, 3, 5} चुनने के तरीकों की संख्या = 3! = 6
इसलिए केवल 6 संयोजन वितरण गुणधर्म को उल्लंघन करेंगे।
वितरण गुणधर्म को संतुष्ट करने की प्रायिकता = \(1 - \frac{6}{125} = 0.952\)
इसलिए, \(\frac{1}{5} < {p_r} < 1\) सही उत्तर है।
निम्नलिखित आंशिकतः क्रमित समुच्चयों में से कौन-सी एक शृंखला है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक आंशिक क्रम समुच्चय, या आंशिकत: क्रमित समुच्चय, एक शृंखला है यदि समुच्चय में प्रत्येक a और b के लिए, या तो a ≤ b या b ≤ a
स्पष्टीकरण:
अतः (3) सही है।
यदि L = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 36} जालक है, तो नीचे दिए गए हैस आरेख में 9 के पूरकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDF→ (9, 1) का LUB = 9
∴ 1 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 2) का LUB = 36
(9, 2) का GLB = 1
∴ 2 इसके पूरक में है।
→ (9, 3) का LUB = 9
∴ 3 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 4) का LUB = 36
(9, 4) का GLB = 1
∴ 4 इसका पूरक है।
→ (9, 6) का LUB = 36
(9, 6) का GLB = 3
∴ 6 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
→ (9, 36) का LUB = 36
(9, 36) का GLB = 9
∴ 36 इसका पूरक नहीं हो सकता है।
9 के पूरक: 2 और 4 है।
महत्वपूर्ण बिंदु:
GLB महत्तम निम्न परिबंध है।
LUB न्यूनतम उपरि परिबंध है।Partial Orders Question 9:
प्रत्येक अरिक्त समुच्च्य जो ऊपर परिबद्ध है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 9 Detailed Solution
हल:
प्रत्येक अरिक्त समुच्च्य जो ऊपर परिबद्ध है, उसकी ऊपरी सीमा न्यूनतम है।
और इसकी अद्वितीय न्यूनतम ऊपरी सीमा है।
(2) सही है।
Partial Orders Question 10:
यदि [P(A); ⊆] एक जालक है जहाँ A = {x, y} और P(A) घात समुच्चय है, तो दिए गए जालक के महत्तम निम्न परिबंध समुच्चय में अवयवों का योग क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 10 Detailed Solution
हैस आरेख:
जालक का महत्तम निम्न परिबंध { } या ϕ है।
जालक के GLB में अवयवों का योग = 0
Partial Orders Question 11:
मान लीजिए ℒ = {p, q, r, s, t} एक जालक है जिसे निम्नलिखित हैस आरेख द्वारा दर्शाया गया है:
किसी भी x, y ∈ ℒ के लिए (जो आवश्यक रूप से भिन्न नहीं हैं), x ⋁ y और x ⋀ y क्रमशः x, y के सम्मिलन और मिलन हैं। मान लीजिए ℒ3 = {(x, y, z): x, y, z ∈ ℒ} ℒ के अवयवों के सभी क्रमित त्रिकों का समुच्चय है। मान लीजिए pr प्रायिकता है कि ℒ3 से समप्रायिक रूप से चुना गया कोई अवयव (x, y, z) x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) को संतुष्ट करता है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 11 Detailed Solution
ℒ = {p, q, r, s, t}
|ℒ| = 5
इसलिए |ℒ3| = 5 x 5 x 5 = 125
जालक का उदाहरण
[{1,2,3,5,30};/] का हैस आरेख
x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) जो निम्न को संतुष्ट करता है
2 ⋁ (3 ⋀ 1) ≡ 2 ⋁ 1 ≡ 1
(2 ⋁ 3) ⋀ (2 ⋁ 1) ≡ 1 ⋀ 1 ≡ 1
L.H.S = R.H.S
इसलिए, pr ≠ 0
x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z) जो निम्न को संतुष्ट नहीं करता है
2 ⋁ (3 ⋀ 5) ≡ 2 ⋁ 1 ≡ 2
(2 ⋁ 3) ⋀ (2 ⋁ 5) ≡ 1 ⋀ 1 ≡ 1
L.H.S ≠ R.H.S
इसलिए, pr ≠ 1
{2, 3, 5} चुनने के तरीकों की संख्या = 3! = 6
इसलिए केवल 6 संयोजन वितरण गुणधर्म को उल्लंघन करेंगे।
वितरण गुणधर्म को संतुष्ट करने की प्रायिकता = \(1 - \frac{6}{125} = 0.952\)
इसलिए, \(\frac{1}{5} < {p_r} < 1\) सही उत्तर है।
Partial Orders Question 12:
माना कि A={1,2,3,4,6,24,36,72}, मान लीजिए ≤ आंशिक क्रम है जो A≤B द्वारा परिभाषित है यदि a, b को विभाजित करता है। (A,≤) के हैस आरेख में किनारों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 12 Detailed Solution
एक हैस आरेख आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय का एक चित्रात्मक प्रतिपादन है जो आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय के कवर संबंध के माध्यम से एक अंतर्निहित ऊपरी अभिविन्यास के साथ प्रदर्शित होता है।
हैस आरेख में किनारों की संख्या 11 है।
अत: सही उत्तर 11 है।
Partial Orders Question 13:
संबंध R = {(p, p), (p, q), (p, r), (p, s), (p, t), (q, q), (q, s), (q, t), (s, s), (s, t), (r, r), (r, t), (t, t)} पर विचार करें, जो A × A का एक उपसमुच्चय है जहाँ A = {p, q, r, s, t} है। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 13 Detailed Solution
(A, R) का हैस आरेख
चूँकि उपरोक्त POSET के लिए निम्न सामिजालक और जॉइन सामिजालक मौजूद है। इसलिए, (A, R) एक जालक है।
s ∨ r ≡ t (LUB)
s ∧ r ≡ p (GLB)
∴ s का पूरक r है और इसके विपरीत भी।
q ∨ r ≡ t (LUB)
q ∧ r ≡ p (GLB)
∴ q का पूरक r है और इसके विपरीत भी।
p ∨ t ≡ t (LUB)
p ∧ t ≡ p (GLB)
∴ p का पूरक t है और इसके विपरीत भी।
चूँकि प्रत्येक अवयव का कम से कम एक पूरक है। इसलिए, यह एक पूरक जालक है।
s ∧ (r ∨ q) ≡ r ∧ t ≡ r
s ∧ (r ∨ q) ≡ (s ∧ r) ∨ (s ∧ q) ≡ p ∨ p ≡ p
चूँकि यह वितरण गुणधर्म का पालन नहीं करता है, इसलिए यह एक वितरण जालक नहीं है।
यदि यह एक वितरण जालक नहीं है।
∴ यह एक बूलीय बीजगणित नहीं है।
मुख्य बिंदु:
एक वितरण जालक में, प्रत्येक तत्व का अधिकतम एक पूरक होता है।
r का पूरक: s और p
चूँकि r के दो पूरक हैं। इसलिए, यह एक वितरण जालक नहीं है:
∧ → महत्तम निम्न परिबंध
∨ → न्यूनतम उपरि परिबंध
Partial Orders Question 14:
निम्नलिखित आंशिकतः क्रमित समुच्चयों में से कौन-सी एक शृंखला है?
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 14 Detailed Solution
संकल्पना:
एक आंशिक क्रम समुच्चय, या आंशिकत: क्रमित समुच्चय, एक शृंखला है यदि समुच्चय में प्रत्येक a और b के लिए, या तो a ≤ b या b ≤ a
स्पष्टीकरण:
अतः (3) सही है।
Partial Orders Question 15:
निम्नलिखित आकृति में हास आरेख द्वारा वर्णित आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय S = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,L,M,N,O} पर विचार करें,
I ) ऊपरी परिसीमा B है
II) न्यूनतम तत्व O है
III) अधिकतम तत्व A,B,C हैं
IV) न्यूनतम तत्व O, N हैं
Answer (Detailed Solution Below)
Partial Orders Question 15 Detailed Solution
दिया गया जालक है,
I ) ऊपरी परिसीमा B है
असत्य, उपरोक्त जालक की कोई ऊपरी परिसीमा नहीं है
II) न्यूनतम तत्व O है
सत्य, उपरोक्त जालक का न्यूनतम तत्व केवल 0 है। उपरोक्त जालक का मिलन केवल o पर होता है
III) अधिकतम तत्व A,B,C हैं
सत्य, उपरोक्त जालक के अधिकतम तत्व A, B, C हैं।
IV) न्यूनतम तत्व O, N हैं
असत्य, उपरोक्त जालक के न्यूनतम तत्व केवल 0 है। उपरोक्त जालक का मिलन केवल o पर होता है
इसलिए सही उत्तर II,III सही हैं है।