यदि R इकाई तत्व के साथ क्रमविनिमेय वलय है M, R की गुणजावली है और R/M परिमित समाकल डोमेन है तो _____।

संकल्पना​:

यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है तो,

ab = ba ∀ a,b ∈ R. 

M, जो R की एक गुणजावली है, R की अधिकतम गुणजावली कहलाएगी,

1) यदि M ⊂ R, M ≠ R (R में कम से कम एक ऐसा तत्व है जो M से संबंधित नहीं है)

2) कोई गुणजावली 'N' नहीं होनी चाहिए, जैसे M ⊂ N ⊂ R. (M और R के बीच कोई गुणजावली नहीं है) 

विश्लेषण​:

R/M एक क्षेत्र है [∵ प्रत्येक परिमित अभिन्न डोमेन एक क्षेत्र है]

∴ R/M एकल के साथ एक वलय है

∴ 1 + M ≠ M

अर्थात, 1 ∉ M

अब, एक R से संबंधित है, लेकिन यह R से संबंधित नहीं है।

∴ M ≠ R.

मान लीजिए I, R की एक गुणजावली है​

ऐसा है कि M ⊆  I ⊆  R

माना, M ≠ I

∃ a ∈ I, ऐसा है कि a ∉ M

∴ a + M ∉ M

अब, R/M एक क्षेत्र है।

∴ प्रत्येक, गैर-शून्य R/M प्रतिवर्ती है

∴ a + M व्युत्क्रमणीय है

∴ ∃ b + M ∈ R/M दिया गया है कि

(a + M) (b + M) = 1 + M

ab + M = 1 + M

ab – 1 ∈ M ⊆  I      ---(1)

a ∈ I, b ∈ R

∴ ab ∈ I          ---(2)  (∵ I एक गुणजावली है​)

(1) और (2) से हम लिख सकते हैं

ab – (ab – 1) ∈ I

∴ 1 ∈ I

अब, जैसे एकता गुणजावली से संबंधित है, इसलिए गुणजावली वलय बन जाता है

∴ I = R

∴ M, R का अधिकतम गुणजावली है

यदि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है तो प्रत्येक अधिकतम गुणजावली एक अभाज्य गुणजावली है।