परिमेय किंवा अपरिमेय संख्या MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Rational or Irrational Numbers - मोफत PDF डाउनलोड करा

वापरलेले सूत्र:

जर एखाद्या अपूर्णांकाचा छेद  2m × 5n या स्वरूपात व्यक्त करता आला तर त्याचा विरामी दशांश विस्तार असतो, जिथे m आणि n हे ऋणेतर पूर्णांक असतात.

गणना:

(a) \(\frac{2139}{3750}\) = \(\frac{713}{1250}\)

⇒ 1250 = 2 x 625 = 2 x 5⁴

छेद 2^m x 5ⁿ या स्वरूपात लिहिता येतो, म्हणून विरामी दशांश विस्तार आहे.

(b) \(\frac{39}{9375}\) = \(\frac{13}{3125}\)

⇒ 3125 = 5⁵

छेद 2^m x 5ⁿ या स्वरूपात लिहिता येतो, म्हणून विरामी दशांश विस्तार आहे.

(c) \(\frac{64}{455}\) हे त्याचे सर्वात साधे स्वरूप आहे.

455 = 5 x 7 x 13

छेद 2^m x 5ⁿ या स्वरूपात नाही, म्हणून अविरामी दशांश विस्तार आहे.

(d) \(\frac{245}{1344} = \frac{35}{192}\)

192 = 2⁶ x 3

छेद 2^m x 5ⁿ या स्वरूपात नाही, म्हणून अविरामी दशांश विस्तार आहे.

∴ (a) आणि (b) चे विरामी दशांश विस्तार आहेत.

दिलेले आहे:

0.\(\overline{52}\) हे \(\dfrac{p}{q}\) या स्वरूपात व्यक्त करा, जिथे p आणि q पूर्णांक आहेत आणि q ≠ 0.

वापरलेले सूत्र:

समजा x = 0.\(\overline{52}\)

दशक बिंदू उजवीकडे दोन स्थानी हलविण्यासाठी दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणा:

100x = 52.\(\overline{52}\)

मग, या नवीन समीकरणापासून मूळ समीकरण वजा करा:

गणना:

100x = 52.\(\overline{52}\)

x = 0.\(\overline{52}\)

⇒ 100x - x = 52.\(\overline{52}\) - 0.\(\overline{52}\)

⇒ 99x = 52

⇒ x = \(\dfrac{52}{99}\)

∴ बरोबर उत्तर पर्याय (2) आहे.

दिलेले आहे:

दोन परिमेय संख्यांची बेरीज -4 आहे.

त्यापैकी एक परिमेय संख्या \(\frac{-13}{25}\) आहे.

गणना:

दुसरी परिमेय संख्या x मानू.

प्रश्नानुसार,

\(\frac{-13}{25}\) + x = -4

⇒ x = -4 - \(\frac{-13}{25}\)

⇒ x = - 4 + \(\frac{13}{25}\)

⇒ x = \(\frac{-100 + 13}{25}\)

⇒ x = \(\frac{-87}{25}\)

बरोबर उत्तर पर्याय (1) आहे.

दिलेले आहे:

आवर्ती दशांश: \(0.\overline{512}\)

वापरलेले सूत्र:

जर \(x = 0.\overline{abc}\) असेल तर:

\(x = \dfrac{abc}{999}\) (तीन अंकी आवर्ती दशांशासाठी).

गणना:

समजा \(x = 0.\overline{512}\)

x = \(\frac{512}{999}\)

∴ पर्याय 2 हे बरोबर उत्तर आहे.

गणना:

दिलेल्या संख्येचे विश्लेषण करूया (5 - 2√3):

⇒ 5 ही परिमेय संख्या आहे.

⇒ √3 ही अपरिमेय संख्या आहे.

⇒ 2√3 ही परिमेय संख्या (2) आणि अपरिमेय संख्या (√3) यांचा गुणाकार आहे, म्हणून ती अपरिमेय आहे.

⇒ परिमेय संख्या (5) आणि अपरिमेय संख्या (2√3) मधील फरक अपरिमेय आहे.

∴ संख्या (5 - 2√3) अपरिमेय आहे.

दिलेले आहे​:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

वापरलेली संकल्पना:

0.ab̅  = (ab - a)/90 

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

गणना:

 \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

⇒ (46 - 4)/90 - (589 - 5)/990 + (333 - 3)/990

⇒ 42/90 - 584/990 + 330/990

⇒ 42/90 - 254/990 

⇒ (462 - 254)/990

⇒ 208/990 

या सूत्रानुसार

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

\(0.2\overline{10}\) = (210 - 2)/990

∴ \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)  चे मूल्य  \(0.2\overline{10}\) च्या समान आहे.  

दिलेल्याप्रमाणे:

0.135135....

वापरलेली संकल्पना:

स्वरुपांची संख्या (p/q), जिथे q ≠ 0 आणि p आणि q पूर्णांक आहेत त्यांना परिमेय संख्या म्हणून ओळखले जाते.

गणना:

चला x =  0.135135....      ----(1)

समीकरण (1) ला 1000 ने गुणा, आपल्याकडे आहे

1000x = 135.135.... ----(2)

समीकरण (2) मधून समीकरण (1) वजा करा, आपल्याकडे आहे

1000x - x = (135.135...) - (0.135135....)

⇒ 999x = 135

⇒ x = 135/999

⇒ x = 45/333

⇒ x = 5/37

∴ 0.135135.... p/q च्या स्वरूपात 5/37 लिहिता येईल.

वापरलेली संकल्पना:-

अपरिमेय संख्या म्हणजे त्या संख्या ज्या p/q च्या स्वरूपात लिहिल्या जाऊ शकत नाहीत. जेथे p आणि q पूर्णांक आहेत आणि q शून्याच्या समान नाही.

Key Points

 दोन अपरिमेय संख्यांची बेरीज किंवा फरक परिमेय किंवा अपरिमेय असू शकतो.
दोन अपरिमेय संख्यांचे उत्पादन किंवा भागाकार परिमेय किंवा अपरिमेय असू शकतो.
स्पष्टीकरण:-

समजा दोन अपरिमेय संख्या आहेत आणि . या दोन संख्यांची बेरीज 0 आहे.

येथे, 0 ही परिमेय संख्या आहे. तर, दोन अपरिमेय संख्येची बेरीज ही परिमेय संख्या आहे.

आता दोन अपरिमेय संख्या आहेत आणि . या दोन संख्यांची बेरीज आहे,

येथे, एक अपरिमेय संख्या आहे. तर, दोन अपरिमेय संख्येची बेरीज ही अपरिमेय संख्या आहे.

म्हणून, दोन अपरिमेय संख्यांची बेरीज परिमेय किंवा अपरिमेय संख्या असू शकते.

आता, आपल्याला माहित आहे की वास्तविक संख्या ही संख्या आहे जी परिमेय किंवा अपरिमेय दोन्ही असू शकते. म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की दोन अपरिमेय संख्येची बेरीज ही नेहमीच वास्तविक संख्या असते.

म्हणून, योग्य पर्याय 3 आहे.

105/112 = (15 × 7) / (16 × 7) = 15/16

वापरलेली संकल्पना:

\(.BC\overline{DEF}\) = \(\frac{BCDEF - BC}{99900}\)

गणना:

\(.45\overline{235}\)

⇒ \(\frac{45235-45}{99900}\)

⇒ \(\frac{45190}{99900}\)

⇒ \(\frac{4519}{9990}\)

∴ योग्य उत्तर \(\frac{4519}{9990}\) आहे.

वापरलेले सूत्र:

आपल्याकडे या \(0.a \bar b\) स्वरूपात संख्या असल्यास

नंतर, \(0.a \bar b\) = \(ab - a\over 90\)

यामध्ये अवरेषा नसलेला अंक संख्येतून वजा केला जातो

आता, हा अपूर्णांक p/q च्या स्वरूपात आहे

गणना:

येथे, आपल्याकडे \(0.2\bar7\) आहे

जसे की, येथे फक्त एका अंकावर अवरेषा आहे

तसेच, 2 ही अवरेषेशिवाय आहे म्हणून ती संख्या 27 अंशामधून वजा केली जाईल

तर, \(0.2\bar7\) = \(27 -2\over90\) = 25/90 = 5/18

आता, 5/18 हे p/q च्या स्वरूपात आहे

म्हणून, ते p/q हे 5/18 या स्वरूपात मांडले जाऊ शकते.

गणना:

परिमेय संख्या - p/q च्या स्वरुपात असलेली संख्या 

दिलेल्या पर्यायानुसार

⇒ \(√ {{3^2} + {4^2}} \) = √25 = 5 ही परिमेय संख्या आहे

⇒ \( √ {12.96} \) = 3.6 ही परिमेय संख्या आहे

⇒ √125 = 5√5 ही परिमेय संख्या नाही

⇒ √900 = 30 ही परिमेय संख्या आहे

∴ √125 ही परिमेय संख्या नाही.

दिलेल्याप्रमाणे:

\(0.3\overline {35} \)

गणना:

x = \(0.3\overline {35} \)  मानू         → (1)

दोन संख्यांची पुनरावृत्ती होत असल्याने, आपण दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणू.

⇒ 100x = 33.535

यातून (1) वजा केल्यास आपल्याला मिळते

⇒ 100x – x = 33.535 – 0.335

⇒ 99x = 33.200

⇒ x = \(\frac{33.2}{99}\) = \(\frac{332}{990}\)

म्हणून, \(0.3\overline {35} \) चे अपूर्णांकी प्रतिनिधित्व \(\frac{332}{990}\) आहे.

⇒ 11025 = 5² × 21²

⇒ 6025 = 5² × 241

⇒ 9025 = 5² × 19²

⇒ 3025 = 5² × 11²

दिलेले आहे:

√ 5 व √7

संकल्पना:

प्रत्येक परिमेय संख्या अखंड आवर्ती दशांश रूपात लिहिता येते.

गणना:

√5 = 2.33 व √7 = 2.64

2.33... व 2.64... यांच्या दरम्यान येणारी परिमेय संख्या

म्हणून, 2.33 व 2.64 यांच्या दरम्यान केवळ \(2{2\over5}\) ही संख्या असेल.

∴ √ 5 व √7 यांच्या दरम्यान केवळ \(2{2\over5}\) ही परिमेय संख्या असेल.