মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Rational or Irrational Numbers - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রয়োগকৃত সূত্র:

যদি কোনো ভগ্নাংশের হর 2^m x 5ⁿ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে m এবং n অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে তার দশমিক প্রসারণ সসীম হবে।

গণনা:

(a) \(\frac{2139}{3750}\) = \(\frac{713}{1250}\)

⇒ 1250 = 2 × 625 = 2 × 54

হরটি 2^m x 5ⁿ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই দশমিক প্রসারণ সসীম।

(b) \(\frac{39}{9375}\) = \(\frac{13}{3125}\)

⇒ 3125 = 3 × 55

হরটি 2^m x 5ⁿ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই দশমিক প্রসারণ সসীম।

(c) \(\frac{64}{455}\) এর সরলতম রূপ এটিই।

455 = 5 × 7 × 13

হরটি 2^m x 5ⁿ আকারে নয়, তাই দশমিক প্রসারণ অসীম।

(d) \(\frac{245}{1344} = \frac{35}{192}\)

192 = 26 × 3

হরটি 2^m x 5ⁿ আকারে নয়, তাই দশমিক প্রসারণ অসীম।

∴ (a) এবং (b)-এর দশমিক প্রসারণ সসীম।

প্রদত্ত:

\(0.\overline{52}\) কে \(\dfrac{p}{q}\) আকারে প্রকাশ করো, যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0

ব্যবহৃত সূত্র:

ধরি x = 0.\(\overline{52}\)

দশমিক বিন্দু দুই ঘর ডানদিকে সরাতে উভয়পক্ষকে 100 দিয়ে গুণ করলে:

100x = 52.\(\overline{52}\)

এবার, মূল সমীকরণটি নতুন সমীকরণ থেকে বাদ দিলে:

গণনা:

100x = 52.\(\overline{52}\)

x = 0.\(\overline{52}\)

⇒ 100x - x = 52.\(\overline{52}\) - 0.\(\overline{52}\)

⇒ 99x = 52

⇒ x = \(\dfrac{52}{99}\)

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প (2).

প্রদত্ত:

দুটি মূলদ সংখ্যার যোগফল -4।

একটি মূলদ সংখ্যা হল \(\frac{-13}{25}\)।

গণনা:

ধরি, অপর মূলদ সংখ্যাটি x

প্রশ্নানুসারে,

\(\frac{-13}{25}\) + x = -4

⇒ x = -4 - \(\frac{-13}{25}\)

⇒ x = - 4 + \(\frac{13}{25}\)

⇒ x = \(\frac{-100 + 13}{25}\)

⇒ x = \(\frac{-87}{25}\)

সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (1)

প্রদত্ত:

পুনরাবৃত্ত দশমিক: \(0.\overline{512}\)

ব্যবহৃত সূত্র:

যদি \(x = 0.\overline{abc}\) হয়, তাহলে:

\(x = \dfrac{abc}{999}\) (তিন অঙ্কের পুনরাবৃত্ত দশমিকের জন্য)।

গণনা:

ধরি \(x = 0.\overline{512}\)

x = \(\frac{512}{999}\)

∴ বিকল্প 2 সঠিক উত্তর।

প্রদত্ত:

আমাদের নির্ণয় করতে হবে কোন মূলদ সংখ্যার অসীম দশমিক প্রসারণ আছে।

ব্যবহৃত সূত্র:

যদি কোন মূলদ সংখ্যার হর (সরলীকরণের পর) 2 বা 5 ছাড়া অন্য কোন মৌলিক উৎপাদক থাকে, তাহলে তার অসীম দশমিক প্রসারণ থাকে।

গণনা:

1) \(\frac{11}{1000}\)

হর = 1000 = \(2^3 \times 5^3\)

হরের মৌলিক উৎপাদকগুলি হল 2 এবং 5।

এর সসীম দশমিক প্রসারণ আছে।

2) \(\frac{23}{2^3 5^2}\)

হর = \(2^3 \times 5^2\)

হরের মৌলিক উৎপাদকগুলি হল 2 এবং 5।

এর সসীম দশমিক প্রসারণ আছে।

3) \(\frac{19}{2^2 5^7 7^5}\)

হর = \(2^2 \times 5^7 \times 7^5\)

হরের মৌলিক উৎপাদকগুলির মধ্যে 7 (2 এবং 5 ছাড়া) আছে।

এর অসীম দশমিক প্রসারণ আছে।

4) \(\frac{4^2}{2 \times 5^2}\)

হর = \(2 \times 5^2\)

হরের মৌলিক উৎপাদকগুলি হল 2 এবং 5।

এর সসীম দশমিক প্রসারণ আছে।

∴ সঠিক উত্তরটি হল (3) নম্বর বিকল্প।

প্রদত্ত:

\(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

অনুসৃত ধারণা:

0.ab̅  = (ab - a)/90 

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

গণনা:

 \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\)

⇒ (46 - 4)/90 - (589 - 5)/990 + (333 - 3)/990

⇒ 42/90 - 584/990 + 330/990

⇒ 42/90 - 254/990 

⇒ (462 - 254)/990

⇒ 208/990 

এই সূত্র অনুযায়ী

0.ab̅c̅ = (abc - a)/990

\(0.2\overline{10}\) = (210 - 2)/990

∴ \(0.4\overline6-0.5\overline{89} +0.3\overline{33}\) এর মান সমান হল \(0.2\overline{10}\)

প্রদত্ত:

0.135135....

অনুসৃত ধারণা:

(p/q) এর আকারের সংখ্যাগুলি হল, যেখানে q ≠ 0 এবং p এবং q হল পূর্ণসংখ্যা যা মূলদ সংখ্যা হিসাবে পরিচিত।

গণনা:

ধরি x = 0.135135....      ----(1)

সমীকরণ (1) কে 1000 দিয়ে গুণ করার পর, আমাদের কাছে আছে

1000x = 135.135....      ----(2)

সমীকরণ (1) কে সমীকরণ (2) থেকে বিয়োগ করার পর, আমরা পাই,

1000x - x = (135.135...) - (0.135135....)

⇒ 999x = 135

⇒ x = 135/999

⇒ x = 45/333

⇒ x = 5/37

∴ 0.135135.... কে p/q এর আকারে 5/37 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

অনুসৃত ধারণা:-

অমূলদ সংখ্যা হল সেই সংখ্যা যা p/q আকারে লেখা যায় না। যেখানে p এবং q পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্যের সমান নয়। 

Key Points

• দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল বা পার্থক্য মূলদ বা অমূলদ হতে পারে।
• দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল বা ভাগ মূলদ বা অমূলদ হতে পারে।

ব্যাখ্যা:-

ধরুন দুটি অমূলদ সংখ্যা আছে \(\sqrt{3}\) এবং \(-\sqrt{3}\) , এই দুটি সংখ্যার যোগফল 0

\(\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0\)

এখানে, 0 হল মূলদ সংখ্যা। সুতরাং, দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ সংখ্যা।

এবার ধরা যাক দুটি অমূলদ সংখ্যা \(\sqrt{3}\) এবং \(\sqrt{3}\) এই দুটি সংখ্যার যোগফল হল,

\(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

এখানে, \(2\sqrt{3}\) একটি অমূলদ সংখ্যা। সুতরাং, দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি অমূলদ সংখ্যা।

অতএব, দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল একটি মূলদ বা একটি অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

এখন, আমরা জানি যে আসল সংখ্যা হল সেই সংখ্যা যা মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা উভয়ই হতে পারে। সুতরাং আমরা বলতে পারি যে দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা।

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি 3

105/112 = (15 × 7) / (16 × 7) = 15/16

∴ 105/112 একটি হ্রাসযোগ্য ভগ্নাংশ।

অনুসৃত ধারণা:

\(.BC\overline{DEF}\) = \(\frac{BCDEF - BC}{99900}\)

গণনা:

\(.45\overline{235}\)

⇒ \(\frac{45235-45}{99900}\)

⇒ \(\frac{45190}{99900}\)

⇒ \(\frac{4519}{9990}\)

∴ সঠিক উত্তর হল \(\frac{4519}{9990}\) 

অনুসৃত সূত্র:

যদি আমাদের কাছে \(0.a \bar b\) রূপে একটি সংখ্যা থাকে।

তাহলে, \(0.a \bar b\) = \(ab - a\over 90\)

এই সংখ্যায় বিদ্যমান বার ব্যতীত অঙ্কটিকে সংখ্যাটির থেকে বিয়োগ করতে হবে

এখন, এই ভগ্নাংশটি p/q আকারে রয়েছে

গণনা:

এখানে, আমাদের আছে আছে \(0.2\bar7\)

যেমন, এখানে আমাদের একটি মাত্র অঙ্কের উপর বার আছে।

এর সাথে, 2 এর মাথায় বার নেই তাই এটিকে লবের 27 থেকে বিয়োগ করা হবে

সুতরাং, \(0.2\bar7\) = \(27 -2\over90\) = 25/90 = 5/18

এখন, 5/18 অঙ্কটি p/q আকারে রয়েছে

সুতরাং, এটিকে p/q আকারে 5/18 এর রূপে প্রকাশ করা যেতে পারে।

গণনা:

মূলদ সংখ্যা - একটি সংখ্যা যা p/q আকারে থাকে

প্রদত্ত বিকল্প অনুযায়ী

⇒ \(√ {{3^2} + {4^2}} \) = √25 = 5 একটি মূলদ সংখ্যা

⇒ \( √ {12.96} \) = 3.6 একটি মূলদ সংখ্যা

⇒ √125 = 5√5 একটি মূলদ সংখ্যা নয়

⇒ √900 = 30 একটি মূলদ সংখ্যা

∴ √125 একটি মূলদ সংখ্যা নয়

প্রদত্ত:

\(0.3\overline {35} \)

গণনা:

ধরা যাক, x = \(0.3\overline {35} \)          → (1)

যেহেতু দুটি সংখ্যা পুনরাবৃত্তি হয়, আমরা উভয় পক্ষকে 100 দ্বারা গুণ করবো।

⇒ 100x = 33.535

এর থেকে (1) বিয়োগ করলে আমরা পাই,

⇒ 100x – x = 33.535 – 0.335

⇒ 99x = 33.200

⇒ x = \(\frac{33.2}{99}\) = \(\frac{332}{990}\)

সুতরাং, \(0.3\overline {35} \) এর ভগ্নাংশ হল \(\frac{332}{990}\)

⇒ 11025 = 52 × 212

⇒ 6025 = 52 × 241

⇒ 9025 = 52 × 192

⇒ 3025 = 52 × 112

∴ 6025 এর বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা হবে।

প্রদত্ত 

√ 5 এবং √ 7

ধারণা

মূলদ সংখ্যা হলো সেই সংখ্যাগুলি যা সমাপ্ত, অ সমাপ্ত বা পুনরাবৃত্ত হয়।

গণনা 

√5 = 2.236 এবং √7 = 2.64

মূলদ সংখ্যা 2.33... এবং 2.64... এর মধ্যে অবস্থিত

সুতরাং, শুধুমাত্র \(2{2\over5}\) হলো সেই সংখ্যা যা 2.33 এবং 2.64 এর মধ্যে অবস্থিত।

∴ \(2{2\over5}\) \(\sqrt{5}\) এবং \(\sqrt{7}\) এর মধ্যে একটি হলো মূলদ সংখ্যা।