Multiples and Factors MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Multiples and Factors - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து:

ஒரு பகா எண்ணுக்கு சரியாக இரண்டு காரணிகள் உள்ளன: 1 மற்றும் அதுவே.

கணக்கீடு:

உதாரணமாக, பகா எண் 5 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

5 இன் காரணிகள் 1 மற்றும் 5 ஆகும்.

எனவே, 5 இன் காரணிகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.

எந்தவொரு பகா எண்ணின் காரணிகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

6 இன் மூன்று அடுத்தடுத்த மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகை 3240.

சூத்திரம்:

6 இன் மூன்று அடுத்தடுத்த மடங்குகள் 6x, 6(x+1), மற்றும் 6(x+2) என்க.

மூன்று மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகை = 6x + 6(x+1) + 6(x+2)

கணக்கீடு:

மூன்று மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகை = 3240

6x + 6(x+1) + 6(x+2) = 3240

6x + 6x + 6 + 6x + 12 = 3240

18x + 18 = 3240

⇒ 18x = 3240 - 18

⇒ 18x = 3222

⇒ x = 3222 / 18

⇒ x = 179

மிகச்சிறிய மடங்கு 6x = 6 x 179 = 1074

மிகச்சிறிய மடங்கு 1074.

கொடுக்கப்பட்டது:

12, 15 மற்றும் 18 ஆகிய எண்களால் வகுபடும் மிகச்சிறிய வர்க்க எண் M ஐக் காண்க

பின்னர் M ஐ 25 ஆல் வகுத்து, ஈவு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காண்க

கணக்கீடு:

12, 15, 18 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.ம காண்க

⇒ 12 = 2² x 3

⇒ 15 = 3 x 5

⇒ 18 = 2 x 3²

⇒ மீ.பொ.ம = 2² x 3² x 5 = 180

⇒ 180 = 2² x 3² x 5

வர்க்க எண்ணாக மாற்ற, 5 ஆல் பெருக்கவும் (5-க்கு வர்க்கம் இல்லை)

⇒ M = 180 x 5 = 900

⇒ M / 25 = 900 / 25 = 36

36 இன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 3 + 6 = 9

∴ தேவையான கூட்டுத்தொகை = 9

கொடுக்கப்பட்டது:

முழு வர்க்கமாக மாற்றப்பட வேண்டிய எண் = 1212

சூத்திரம்:

n என்பது ஒரு முழு வர்க்கம் அல்லாத எண்ணாக இருந்தால், அதை ஒரு முழு வர்க்கமாக மாற்ற கூட்டப்பட வேண்டிய மிகச்சிறிய இயல் எண், n ஐ விட அதிகமான அடுத்த முழு வர்க்கத்திற்கும் n க்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசமாகும்.

கணக்கீடு:

1212 ஐ விட அதிகமான அடுத்த முழு வர்க்கத்தைக் காண்க.

√1212 ≈ 34.8

34.8க்கு அடுத்த முழு எண் 35.

அடுத்த முழு வர்க்கம் = 35²

35² = 1225

கூட்டப்பட வேண்டிய மிகச்சிறிய இயல் எண் = 1225 - 1212

மிகச்சிறிய இயல் எண் = 13

1212 இல் எந்த மிகச்சிறிய இயல் எண்ணை கூட்டினால் அது ஒரு முழு வர்க்கமாகும் என்பது 13.

கொடுக்கப்பட்டது:

எண் = 1083

கருத்து:

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை ஒரு முழு வர்க்கமாக மாற்ற பெருக்க வேண்டிய மிகச்சிறிய இயல் எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, எண்ணின் பகா எண் காரணியைக் கண்டுபிடித்து, பெருக்கப்படும் போது பகா எண்களின் அடுக்குகள் அனைத்தையும் இரட்டை எண்ணாக மாற்றும் மிகச்சிறிய காரணியை அடையாளம் காண வேண்டும்.

கணக்கீடு:

1083 இன் பகா எண் காரணி:

1083 = 3 x 361

361 = 19²

எனவே, 1083 = 3 x 19²

1083 ஒரு முழு வர்க்கமாக இருக்க, அனைத்து பகா காரணிகளின் அடுக்குகளும் இரட்டை எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.

தற்போது, 3 இன் அடுக்கு 1 (ஒற்றைப்படை), மற்றும் 19 இன் அடுக்கு 2 (இரட்டைப்படை).

3 இன் அடுக்கை இரட்டைப்படையாக மாற்ற 1083 ஐ 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

பெருக்க வேண்டிய மிகச்சிறிய எண் = 3

1083 ஐ ஒரு முழு வர்க்கமாக மாற்ற பெருக்க வேண்டிய மிகச்சிறிய இயல் எண் 3 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

3240

கருத்து:

k = a x × b y எனில், பிறகு

அனைத்து காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை = (a 0 + a 1 + a 2 + ..... + a x ) (b 0 + b 1 + b 2 + ….. + b y )

தீர்வு:

3240 = 2 ³ × 3 ⁴ × 5 ¹

காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை = (2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 ) (3 ⁰ + 3 ¹ + 3 ² + 3 ³ + 3 ⁴ ) (5 ⁰ + 5 ¹ )

⇒ (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3 + 9 + 27 + 81) (1 + 5)

⇒ 15 × 121 × 6

⇒ 10890

∴ தேவையான தொகை 10890

கொடுக்கப்பட்டவை:

எண் = 100

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

am × bn இன் அனைத்து காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை (a0 + a1 +......+ a^m) × (b0 + b1 +............+ bⁿ)

கணக்கீடு:

100 இன் காரணிகள் = 2² × 5²

காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை = (2⁰ + 2¹ + 2²) × (5⁰ + 5¹ + 5²)

⇒ (1 + 2 + 4) × (1 + 5 + 25)

⇒ 7 × 31

⇒ 217

∴ 100 இன் அனைத்து காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை 217 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

4 ஆல் வகுபடும் 196 காரணிகளின் எண்ணிக்கை

கணக்கீடுகள்:

கேள்வியின் படி,

எண் 196 சரியாக வகுபடக்கூடிய எண்கள்  = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 மற்றும் 196.

4 ஆல் வகுபடும் 196 இன் காரணிகள் = 4, 28, 196  

∴ 4 ஆல் வகுபடும் 196 இன் காரணிகளின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து:

N = ap × bq × cr...என்றால் 

பின்னர் காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (p + 1)(q + 1)(r + 1).....

கணக்கீடு:

கேள்வியின் படி,

முதல் பகா காரணி எண் 720,

720 = 24 × 32 × 51

கருத்துடன் ஒப்பிடுகையில், 

p = 4, q = 2 மற்றும் r = 1

காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)

⇒ 5 × 3 × 2 = 30

∴ 720 இன் காரணிகளின் எண்ணிக்கை 30 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து : இந்த வகை கேள்வியில், காரணிகளே நிறை வர்க்கமாக இருந்தால் மட்டுமே காரணிகளின் வர்க்க மூலங்கள் இயல் எண்ணாக இருக்கும். 

கணக்கீடு : 2250 என்ற எண்ணை 2250 = 2 × 3² × 5³ எனவும் எழுதலாம்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

கொடுக்கப்பட்ட எண் 480.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

N என்ற எண்ணின் பகாக் காரணியாக்கம் = a^p × b^q × c^r × ...... எனில் 

Nஇன் காரணிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை = (p + 1) × (q + 1) × (r + 1) × ......

கணக்கீடு:

இதில்,

480இன் பகாக் காரணியாக்கம் = 2⁵ × 3¹ × 5¹

எனவே, காரணிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை = (5 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)

⇒ 6 × 2 × 2

⇒ 24

∴ 480இன் காரணிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை 24.

கருத்து:

எண் = a^b x c^d x ...

மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (b + 1)(d + 1) ...

'a' என்பது ஒரு இரட்டை பகா எண்ணாக இருந்தால், மொத்த ஒற்றைப்படை காரணிகளின் எண்ணிக்கை = (c + 1) ...

இங்கு, a, c போன்றவை பகா எண்கள்.

கணக்கீடு:

378 இன் பகா காரணிப்படுத்தல்:

378 = 2 x 3 x 3 x 3 x 7

378 = 2¹ x 3³ x 7¹

எனவே, 378 இன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை

⇒ (1 + 1)(3 + 1)(1 + 1)

⇒ 2 x 4 x 2 = 16

முடிவுரை:

378 என்ற எண்ணை 16 வெவ்வேறு வழிகளில் மாணவர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்கலாம், ஏனெனில் இதற்கு 16 காரணிகள் உள்ளன. எனவே, உங்கள் தீர்வு சரியானது.

எனவே, தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 16.

கணக்கீடு:

⇒ 213 + 214 + 215 + 216 + 217

⇒ 213 (1+ 21 + 22 + 23 + 24)

⇒ 213 (1 + 2 + 4 + 8 + 16)

⇒ 213 × (31)

∴ 213 + 214 + 215 + 216 + 217 என்பது 31 இன் மடங்காகும்.

கருத்து:

ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் பல பகா எண்களின் பெருக்கமாகவோ அல்லது அந்த பகா எண்களின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவோ வெளிப்படுத்தலாம்.

சூத்திரம்:

ஒரு எண் N ஐ

N = am x bⁿ x c^p (a, b, மற்றும் c பகா எண்கள்)

என வெளிப்படுத்தினால்

மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை (m + 1) x (n + 1) x (p + 1) க்கு சமம்.

கணக்கீடு:

540 இன் காரணிகள் என்பவை, பெருக்கினால் 540 ஐத் தரும் எண்கள் ஆகும்.

540 க்கு 24 காரணிகள் உள்ளன, அவற்றில் பின்வருபவை அதன் பகா காரணிகள் 2, 3, 5.

540 இன் பகா காரணிப்படுத்தல் 2² x 3³ x 5¹ ஆகும்.

இங்கு, m = 2, n = 3, p = 1

540 இன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை:

⇒ (2 + 1) x (3 + 1) x (1 + 1) = 24

எனவே, 540 இன் மொத்த காரணிகளின் எண்ணிக்கை = 24

எனவே, சரியான விடை "24" ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டவை:

3 இன் நான்கு தொடர்ச்சியான மடங்குகளின் கூட்டுத்தொகை = 78

கணக்கீடு:

3 இன் முதல் பெருக்கல் = 3a ஆக இருக்கட்டும்.

அதேபோல், 3 இன் இரண்டாவது பெருக்கல் = 3(a + 1)

⇒ 3 இன் மூன்றாவது பெருக்கல் = 3(a + 2)

⇒ 3 இன் நான்காவது பெருக்கல் = 3(a + 3)

3a +3(a + 1) + 3(a + 2) + 3(a + 3) = 78

⇒ 3a + 3a + 3 + 3a + 6 + 3a + 9 = 78

⇒ 12a + 18 = 78

⇒ 12a = 78 - 18 = 60

⇒ a = 60/12 = 5

∴ 3 = 3(a + 3) = 3 × (5 + 3) = 24 இன் மிகப்பெரிய பெருக்கல்

Shortcut Trick  கணக்கீடு:

3 இன் தொடர்ச்சியான 4 மடங்குகளின் சராசரி = 78/4 = 19.5

எனவே, எண் 18 மற்றும் 21 ஆக இருக்க வேண்டும்.

எனவே, தொடர்

15, 18, 21, 24

∴ மிகப்பெரிய மடங்கு 24 ஆகும்.