Business Statistics and Research Methods MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Business Statistics and Research Methods - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर है - जनसंख्या का आकार

Key Points

• जनसंख्या का आकार
  • विश्वास अंतराल की गणना आमतौर पर नमूना सांख्यिकी का उपयोग करके की जाती है, न कि संपूर्ण जनसंख्या के आकार का।
  • अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, जनसंख्या को अनंत रूप से बड़ा माना जाता है, जिससे विश्वास अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करने में जनसंख्या का आकार एक अप्रासंगिक कारक बन जाता है।
  • परिमित जनसंख्या सुधार (FPC) केवल तभी लागू किया जाता है जब नमूना कुल जनसंख्या का एक महत्वपूर्ण अंश हो (आमतौर पर >5%), जो बड़ी आबादी में असामान्य है।
• नमूना आकार
  • बड़े नमूना आकार कम मानक त्रुटि के कारण संकीर्ण विश्वास अंतराल में परिणाम देते हैं।
• वांछित विश्वास
  • उच्च विश्वास स्तर (जैसे, 99% बनाम 95%) को वास्तविक पैरामीटर को कैप्चर करने की अधिक निश्चितता सुनिश्चित करने के लिए व्यापक अंतराल की आवश्यकता होती है।
• जनसंख्या में परिवर्तनशीलता
  • उच्च परिवर्तनशीलता (या मानक विचलन) से बढ़ी हुई अनिश्चितता को समायोजित करने के लिए व्यापक विश्वास अंतराल प्राप्त होते हैं।

Additional Information

• विश्वास अंतराल चौड़ाई के लिए सूत्र
  • माध्य के लिए: CI = x̄ ± Z*(σ/√n)
  • चौड़ाई को प्रभावित करने वाले प्रमुख चर:
    • Z*: विश्वास स्तर पर निर्भर करता है।
    • σ: जनसंख्या मानक विचलन (परिवर्तनशीलता)।
    • n: नमूना आकार।
• परिमित जनसंख्या सुधार (FPC)
  • केवल तभी उपयोग किया जाता है जब नमूना जनसंख्या का एक बड़ा अनुपात हो।
  • FPC = √((N - n)/(N - 1)), जहाँ N = जनसंख्या आकार, n = नमूना आकार।
  • अधिकांश परीक्षा परिदृश्यों में, FPC नगण्य है, इसलिए जनसंख्या का आकार विश्वास अंतराल की चौड़ाई को प्रभावित नहीं करता है।
• सामान्य गलतफहमियाँ
  • यह मान लेना कि एक बड़ी जनसंख्या हमेशा अनिश्चितता को बढ़ाती है — यह गलत है जब तक कि FPC लागू न हो।
  • यह मानना कि जनसंख्या का आकार सीधे चौड़ाई को प्रभावित करता है — मानक अभ्यास में, ऐसा नहीं होता है।

सही उत्तर है - कोटा नमूना

Key Points

• कोटा नमूना
  • एक कोटा नमूना एक गैर-प्रायिकता नमूना विधि का प्रकार है जहाँ शोधकर्ता विशिष्ट विशेषताओं या कोटा के आधार पर प्रतिभागियों का चयन करता है।
  • प्रायिकता नमूना के विपरीत, कोटा नमूना यादृच्छिक चयन पर निर्भर नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्ति को चुने जाने का समान अवसर नहीं है।
  • यह विधि चयन पूर्वाग्रह का कारण बन सकती है, जिससे यह सांख्यिकीय प्रतिनिधित्व की आवश्यकता वाले अध्ययनों के लिए कम उपयुक्त हो जाता है।
  • कोटा नमूना अक्सर बाजार अनुसंधान या सर्वेक्षणों में उपयोग किया जाता है जहाँ समय और लागत की बाधाएँ महत्वपूर्ण होती हैं।

Additional Information

• प्रायिकता नमूना विधियाँ
  • स्तरीकृत नमूना: जनसंख्या को उपसमूहों (स्तरों) में विभाजित करता है और प्रत्येक उपसमूह से यादृच्छिक रूप से नमूने का चयन करता है। यह विभिन्न श्रेणियों में प्रतिनिधित्व सुनिश्चित करता है।
  • समूह नमूना: जनसंख्या को समूहों में समूहित करता है, फिर अध्ययन के लिए पूरे समूहों का यादृच्छिक रूप से चयन करता है। बड़ी, भौगोलिक रूप से फैली हुई आबादी के लिए उपयोगी।
  • व्यवस्थित यादृच्छिक नमूना: एक निश्चित अंतराल (जैसे, प्रत्येक 5वाँ व्यक्ति) का उपयोग करके नमूनों का चयन करता है। शुरुआती बिंदु यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, जिससे चयन में यादृच्छिकता सुनिश्चित होती है।
• प्रायिकता और गैर-प्रायिकता नमूना के बीच मुख्य अंतर
  • प्रायिकता नमूना: यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक व्यक्ति को चुने जाने का समान अवसर है, जिससे नमूना जनसंख्या का सांख्यिकीय रूप से प्रतिनिधि बन जाता है।
  • गैर-प्रायिकता नमूना: सुविधा या निर्णय जैसी व्यक्तिपरक विधियों पर निर्भर करता है, जिससे संभावित पूर्वाग्रह और प्रतिनिधित्व की कमी होती है।

सही उत्तर है - 1 - α (अल्फा) को परीक्षण की शक्ति कहा जाता है

Key Points

• प्रथम प्रकार की त्रुटि (α)
  • जब एक सत्य शून्य परिकल्पना को गलत तरीके से अस्वीकार कर दिया जाता है, तो प्रथम प्रकार की त्रुटि होती है।
  • इस त्रुटि को करने की प्रायिकता को α (अल्फा) द्वारा दर्शाया जाता है।
  • 1 - α परीक्षण की शक्ति नहीं, बल्कि विश्वास स्तर का प्रतिनिधित्व करता है।
• द्वितीय प्रकार की त्रुटि (β)
  • जब एक असत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया जाता है, तो द्वितीय प्रकार की त्रुटि होती है।
  • इस त्रुटि को करने की प्रायिकता को β (बीटा) द्वारा दर्शाया जाता है।
• परीक्षण की शक्ति
  • परीक्षण की शक्ति को एक असत्य शून्य परिकल्पना को सही ढंग से अस्वीकार करने की प्रायिकता के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • यह 1 - β द्वारा दिया जाता है, 1 - α नहीं।

Additional Information

• त्रुटियों का सारांश
  • प्रथम प्रकार की त्रुटि (α):
    • जब हम एक सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, तो यह होती है।
    • उदाहरण: कहना कि एक नई दवा प्रभावी है जब वह नहीं है।
  • द्वितीय प्रकार की त्रुटि (β):
    • जब हम एक असत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं, तो यह होती है।
    • उदाहरण: कहना कि एक नई दवा अप्रभावी है जब वह प्रभावी है।
• मुख्य प्रायिकता शब्द
  • α (अल्फा): प्रथम प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता।
  • β (बीटा): द्वितीय प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता।
  • 1 - β: परीक्षण की शक्ति, एक असत्य शून्य परिकल्पना का पता लगाने की परीक्षण की क्षमता का प्रतिनिधित्व करती है।
  • 1 - α: विश्वास स्तर, एक सत्य शून्य परिकल्पना को सही ढंग से बनाए रखने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है।
• परीक्षण की शक्ति का महत्व
  • एक उच्च शक्ति एक असत्य शून्य परिकल्पना का पता लगाने की अधिक संभावना को इंगित करती है।
  • शक्ति कई कारकों पर निर्भर करती है, जिनमें शामिल हैं:
    • नमूना आकार (बड़े नमूने शक्ति बढ़ाते हैं)।
    • महत्व स्तर (α)।
    • प्रभाव आकार (परीक्षण किए जा रहे अंतर का परिमाण)।

सही उत्तर है - विश्वसनीयता

Key Points

• विश्वसनीयता
  • विश्वसनीयता एक मापन उपकरण की संगति या पुनरावृत्ति को संदर्भित करती है।
  • मापों की गुणवत्ता के संदर्भ में, विश्वसनीयता एक आवश्यक शर्त है, क्योंकि यह सुनिश्चित करती है कि माप समय के साथ या विभिन्न परिदृश्यों में स्थिर परिणाम उत्पन्न करता है।
  • हालांकि, अकेले विश्वसनीयता पर्याप्त नहीं है क्योंकि एक माप सटीक या मान्य होने के बिना सुसंगत हो सकता है।
  • उदाहरण के लिए, एक वजन तराजू जो लगातार गलत वजन दिखाता है, विश्वसनीय है लेकिन मान्य नहीं है।

Additional Information

• मान्यता
  • मान्यता एक मापन उपकरण की सटीकता को संदर्भित करती है, अर्थात् क्या यह वह मापता है जिसका वह माप करने का इरादा रखता है।
  • जबकि वैधता महत्वपूर्ण है, यह विश्वसनीयता पर निर्भर है। यदि कोई माप विश्वसनीय नहीं है तो वह मान्य नहीं हो सकता है।
• मापन
  • मापन चर या लक्षणों को संख्यात्मक मान या श्रेणियों को असाइन करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।
  • यह एक व्यापक अवधारणा है और इसमें एक अच्छे मापन के आवश्यक घटकों के रूप में विश्वसनीयता और वैधता दोनों शामिल हैं।
• संवेदनशीलता
  • संवेदनशीलता एक परीक्षण या उपकरण की सच्चे सकारात्मक या मापे जा रहे चर में परिवर्तन का पता लगाने की क्षमता को मापती है।
  • जबकि संवेदनशीलता एक महत्वपूर्ण विशेषता है, यह सुसंगत परिणाम सुनिश्चित करने में विश्वसनीयता की आवश्यकता से सीधे संबंधित नहीं है।

सही उत्तर है - ±1 के बीच परिवर्तित होता है

Key Points

• सहसंबंध गुणांक की परिभाषा:
  • सहसंबंध गुणांक, जिसे आमतौर पर r के रूप में दर्शाया जाता है, दो चरों के बीच रैखिक संबंध की शक्ति और दिशा को मापता है।
  • यह सांख्यिकी में एक प्रमुख अवधारणा है, विशेष रूप से प्रतिगमन और सहसंबंध विश्लेषण में।
• सहसंबंध गुणांक की सीमा:
  • r का मान हमेशा −1 से +1 की सीमा के भीतर रहता है।
  • +1 का मान एक पूर्ण धनात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है।
  • −1 का मान एक पूर्ण ऋणात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है।
  • 0 का मान चरों के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं होने का संकेत देता है।
• अन्य विकल्प गलत क्यों हैं:
  • विकल्प 2 (की कोई सीमा नहीं है): गलत क्योंकि सहसंबंध गुणांक ±1 द्वारा सीमित है।
  • विकल्प 3 (1 से कम हो सकता है): भ्रामक है क्योंकि यह सुझाव देता है कि मान ±1 से अधिक हो सकता है, जो संभव नहीं है।
  • विकल्प 4 (1 से अधिक हो सकता है): गलत क्योंकि सहसंबंध गुणांक +1 या −1 से अधिक नहीं हो सकता है।

Additional Information

• सहसंबंध गुणांक की व्याख्या:
  • +1 के करीब मान एक मजबूत धनात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है (जैसे, जैसे एक चर बढ़ता है, दूसरा भी बढ़ता है)।
  • −1 के करीब मान एक मजबूत ऋणात्मक रैखिक संबंध को इंगित करता है (जैसे, जैसे एक चर बढ़ता है, दूसरा घटता है)।
  • 0 के पास मान एक कमजोर या कोई रैखिक संबंध नहीं होने का संकेत देता है।
• सहसंबंध के प्रकार:
  • धनात्मक सहसंबंध: दोनों चर एक ही दिशा में चलते हैं।
  • ऋणात्मक सहसंबंध: चर विपरीत दिशाओं में चलते हैं।
  • कोई सहसंबंध नहीं: चरों के बीच कोई स्पष्ट संबंध नहीं है।
• व्यावहारिक अनुप्रयोग:
  • स्टॉक की कीमतों या रिटर्न के बीच संबंध को मापने के लिए वित्त में उपयोग किया जाता है।
  • मांग और कीमत या आय और व्यय के बीच संबंध का अध्ययन करने के लिए अर्थशास्त्र में लागू होता है।
  • सामाजिक विज्ञान में, यह शिक्षा स्तर और आय जैसे चरों के बीच संबंधों का अध्ययन करने में मदद करता है।

प्रायोगिक अनुसंधान डिजाइन:

1. प्रयोगात्मक डिजाइन अग्रिम में प्रयोगों की सावधानीपूर्वक योजना बनाने का एक तरीका है ताकि आपके परिणाम उद्देश्यपूर्ण और मान्य हों।
2. "प्रायोगिक डिजाइन" और "प्रयोग के डिजाइन" शब्द का उपयोग एक-दूसरे के लिए किया जाता है और इसका मतलब समान है।
3. हालांकि, चिकित्सा और सामाजिक विज्ञान शब्द "प्रायोगिक डिजाइन" का उपयोग करते हैं, जबकि इंजीनियरिंग, औद्योगिक और कंप्यूटर विज्ञान शब्द "प्रयोगों के डिजाइन" का पक्ष लेते हैं।

प्रयोगों के डिजाइन में शामिल हैं:

1. डेटा का व्यवस्थित संग्रह
2. परिणामों के बजाय स्वयं डिज़ाइन पर ध्यान दें
3. स्वतंत्र (इनपुट) चर और निर्भर चर या प्रतिक्रिया चर पर प्रभाव की योजना बना
4. सुनिश्चित करने के परिणाम मान्य हैं, आसानी से व्याख्या किए गए हैं, और निश्चित हैं।

प्रायोगिक अनुसंधान डिजाइन निम्नलिखित हैं:

1. नियंत्रण समूह के डिजाइन से पहले और बाद में
2. फ़ैक्टोरियल डिजाइन
3. लैटिन स्क्वायर डिजाइन

डिजाइन से पहले एक समूह एक प्रकार का अर्ध-प्रायोगिक डिजाइन है जिसमें हस्तक्षेप शुरू होने से पहले एक बार निर्भर चर का इलाज किया जाता है, और फिर एक हस्तक्षेप के कार्यान्वयन के बाद। एक अर्ध-प्रयोगात्मक डिजाइन एक अन्य प्रयोगात्मक डिजाइन के समान है, लेकिन उनके पास यादृच्छिक असाइनमेंट की कमी है, इसलिए वे अपूर्ण प्रयोगात्मक डिजाइन हैं।

निगम (कॉर्पोरेट) प्रशासन तंत्र, प्रक्रियाओं और संबंधों का संग्रह है जिसके द्वारा निगमों को नियंत्रित और निर्देशित किया जाता है।

Key Pointsव्याख्या:

1. कॉर्पोरेट गवर्नेंस' शब्द का अर्थ उन तंत्रों के समूह से है, जिनका उपयोग शेयर धारकों के बीच संबंधों में किया जा रहा है, जिसका उपयोग आगे संगठन के रणनीतिक निर्णयों और प्रदर्शन का पता लगाने और निगरानी करने के लिए किया जाता है।
2. शासन का तात्पर्य फर्मों के मालिकों और शीर्ष प्रबंधकों के बीच व्यवस्था बनाने के साधन से भी है।
3.  इसलिए, कॉर्पोरेट प्रशासन कंपनी के मूल्यों का प्रतीक है।
4. आधुनिक निगमों के मामले में, कॉर्पोरेट प्रशासन का मुख्य उद्देश्य शीर्ष स्तर के प्रबंधकों के हितों को आश्वस्त करना और प्राप्त करना है जो शेयर धारकों के हित में हों।

इसलिए, निगमों को कॉर्पोरेट प्रशासन द्वारा नियंत्रित और निर्देशित किया जाता है।

Additional Information1. व्यावसायिक नैतिकता (कॉर्पोरेट नैतिकता भी), लागू नैतिकता या पेशेवर नैतिकता का एक रूप है जो नैतिक सिद्धांतों और व्यावसायिक वातावरण में उत्पन्न होने वाली नैतिकता या नैतिक समस्याओं की जांच करती है। यह व्यावसायिक आचरण के सभी पहलुओं पर लागू होता है और व्यक्तियों और संपूर्ण संगठनों के आचरण के लिए प्रासंगिक है।

2. कॉर्पोरेट आचार संहिता (CCC), ऐसे नैतिक मानकों का संहिताबद्ध सेट जिसके पालन की अपेक्षा किसी निगम से की जाती है। आमतौर पर निगमों द्वारा उत्पन्न, कॉर्पोरेट आचार संहिता डिजाइन और उद्देश्य में व्यापक रूप से भिन्न होती है। वे सीधे तौर पर कानूनी रूप से बाध्यकारी नहीं होते हैं।

3. आंतरिक कॉर्पोरेट प्रशासन तंत्र: आंतरिक तंत्र, फर्मों द्वारा उपयोग किए जाने वाली प्रक्रिया और तरीके हैं जो प्रबंधन को शेयरधारकों के हित साधने में मदद करते हैं। आंतरिक तंत्र के घटकों में स्वामित्व संरचना, निदेशक मंडल, लेखा परीक्षा समितियां, मुआवजा बोर्ड आदि शामिल हैं।

जब दो चर इस तरह से संबंधित होते हैं कि एक चर के मूल्य में परिवर्तन दूसरे चर के मूल्य को प्रभावित करता है, तो चर को सहसंबद्ध कहा जाता है या इन दो चर के बीच सहसंबद्ध होता है।

चर में परिवर्तन की दिशा के अनुसार, सहसंबंध दो प्रकार के होते हैं: 1. सकारात्मक सहसंबंध 2. नकारात्मक सहसंबंध

1. सकारात्मक सहसंबंध: दो चर के बीच सहसंबंध को सकारात्मक कहा जाता है यदि चर के मान एक ही दिशा में विचलन करते हैं यानी यदि एक चर के मान में वृद्धि (या कमी) होती है तो दूसरे चर के मान भी बढ़ते हैं (या घटते हैं)। सकारात्मक सहसंबंध के कुछ उदाहरण परस्पर संबंध हैं:

1. व्यक्तियों के एक समूह की ऊंचाई और वजन;
2. घरेलू आय और व्यय;
3. फसलों की वर्षा और उपज की मात्रा; तथा
4.  विज्ञापन और बिक्री राजस्व पर व्यय।

अंतिम उदाहरण में, यह देखा गया है कि जैसे-जैसे विज्ञापन पर खर्च बढ़ता है, बिक्री राजस्व भी बढ़ता है। इस प्रकार, परिवर्तन उसी दिशा में है। इसलिए सहसंबंध सकारात्मक है। शेष तीन उदाहरणों में, आमतौर पर दूसरे चर का मान बढ़ता है (या घटता है) क्योंकि पहले चर का मूल्य बढ़ता है (या घटता है)।

2. नकारात्मक सहसंबंध: दो चर के बीच सहसंबंध को नकारात्मक कहा जाता है यदि चर के मान विपरीत दिशा में विचलन करते हैं यानी यदि एक चर के मान में वृद्धि (या कमी) होती है तो दूसरे चर के मान में कमी (या वृद्धि) होती है। नकारात्मक सहसंबंधों के कुछ उदाहरणों के बीच सहसंबंध हैं:

1. सही गैस का आयतन और दबाव;
2. माल की कीमत और मांग;
3. एक देश में साक्षरता और गरीबी; तथा
4. परीक्षा में छात्रों द्वारा प्राप्त टीवी और अंक देखने में समय व्यतीत होता है।

पहले उदाहरण में, वॉल्यूम कम होने या दबाव बढ़ने पर दबाव कम हो जाता है क्योंकि वॉल्यूम कम हो जाता है। इस प्रकार परिवर्तन विपरीत दिशा में होता है। इसलिए, मात्रा और दबाव के बीच संबंध नकारात्मक है। शेष तीन उदाहरणों में भी, पहले चर के मूल्यों में परिवर्तन की विपरीत दिशा में दूसरे चर के मूल्य बदल जाते हैं।

अब, चूंकि दो चर 'X' और 'Y' के मानों का कुल योग सभी अवलोकनों के लिए समान है। यानि x + y = 'z' (बराबर), सभी टिप्पणियों के लिए 'z' समान (बराबर) रहने के लिए, अगर 'x' बढ़ता है, तो 'y' घटाना चाहिए और इसके विपरीत। इस प्रकार, विकल्प 2 सही उत्तर है।

संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़ों में, फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर पोइसन वितरण, एक असतत संभाव्यता वितरण है जो किसी निश्चित समय या स्थान के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं किसी ज्ञात स्थिरांक के साथ होती हैं। औसत दर और अंतिम घटना के बाद के समय की स्वतंत्र रूप से।

पॉसन संभावना नियम का उपयोग करना,

P(X = x) = (λ^x.e^-λ) / x!

जहां, x = 0,1,2,3,...

λ = अंतराल में होने वाली घटनाओं की संख्या

e = यूलर का स्थिरांक

यहाँ, λ = 2 ग्राहक / मिनट अब,

P(3) = (e^-2 x 2³) / 3!

साथ में e-2 = 0.1353, हम प्राप्त करते हैं

P(3) = (0.1353 x 8) / 6 

∴ P(3) = 0.1804

इस प्रकार, विकल्प 1 सही उत्तर है।

सामान्य वितरण का सबसे सरल मामला मानक सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है। यह एक विशेष मामला है जब μ = 0 और σ = 1, और यह इस संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

\(ϕ (x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\)

यहां, \(1/\sqrt{2\pi}\) कारक यह सुनिश्चित करता है कि वक्र ϕ(x) के नीचे का कुल क्षेत्रफल एक के बराबर है। घातांक में कारक 1/2 यह सुनिश्चित करता है कि वितरण में इकाई विचरण है (अर्थात, विचरण एक के बराबर है), और इसलिए इकाई मानक विचलन भी है। यह फ़ंक्शन x = 0 के आस-पास सममित है, जहां यह अपने अधिकतम मान \(1/\sqrt{2\pi}\) को प्राप्त करता है और x = +1 और x = -1 पर विभक्ति बिंदु हैं।

अत: विकल्प 1 सही उत्तर है।

 बढ़ता प्रतिफल उपरोक्त उत्पादन फलन को दर्शाता है।  

अर्थशास्त्र और अर्थमिति में, कॉब-डगलस उत्पादन फलन, का एक विशेष कार्यात्मक रूप है, जिसका उपयोग व्यापक रूप से दो या दो से अधिक इनपुट (विशेष रूप से भौतिक पूंजी और श्रम) की मात्रा और आउटपुट की मात्रा के बीच तकनीकी संबंध का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उन निविष्टियों द्वारा निर्मित किया जाए।

1927-1947 के दौरान चार्ल्स कोब और पॉल डगलस द्वारा सांख्यिकीय प्रमाण के खिलाफ कोब-डगलस रूप का विकास और परीक्षण किया गया था।

दो कारकों के साथ एक एकल के उत्पादन के लिए अपने सबसे मानक रूप में, फलन Y=AK^αL^β है।

जहाँ:

• Y = कुल उत्पादन (एक वर्ष या 365.25 दिनों में उत्पादित सभी वस्तुओं का वास्तविक मूल्य)
• L = श्रम इनपुट (एक वर्ष या 365.25 दिनों में काम करने वाले व्यक्ति-घंटे)
• K = पूंजी इनपुट (सभी मशीनरी, उपकरण और इमारतों का एक उपाय; पूंजीगत पूंजी का मूल्य पूंजी के मूल्य से विभाजित)
• A = कुल कारक उत्पादकता
• α और β  क्रमशः पूंजी और श्रम के आउटपुट लोच हैं। ये मूल्य उपलब्ध प्रौद्योगिकी द्वारा निर्धारित स्थिरांक हैं।

1.  यदि α + 1 = 1 तो पैमाने पर रिटर्न स्थिर है। इसका मतलब है कि पूंजी और श्रम दोनों की मात्रा को दोगुना करने से उत्पादन दोगुना हो जाएगा।
2. अगर α + <1 पैमाने पर रिटर्न कम हो रहा है। कारकों में आनुपातिक परिवर्तन के परिणामस्वरूप आउटपुट में एक छोटा आनुपातिक परिवर्तन होगा।
3. यदि α +> 1 रिटर्न पैमाने पर बढ़ रहा है। इसी तरह, कारकों में आनुपातिक परिवर्तन से आउटपुट में उच्च आनुपातिक परिवर्तन होगा। 

Key Pointsआंकड़ों का उपयोग करते हुए, परिकल्पना परीक्षण दुनिया के बारे में हमारे सिद्धांतों की जांच के लिए एक औपचारिक प्रक्रिया है। सिद्धांतों से उत्पन्न होने वाली विशेष परिकल्पनाओं की जांच करने के लिए वैज्ञानिक अक्सर इसका उपयोग करते हैं।

Important Points

परिकल्पना परीक्षण की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. सेटअप शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना
2. महत्व स्तर का चयन करें
3. टेस्ट सांख्यिकी का चयन करें
4. निर्णय नियम स्थापित करें
5. प्रदर्शन संगणना
6. परिणाम निकालना

Key Points

चतुर्थक विचलन:

• ऊपरी और निचले चतुर्थक के बीच का आधा अंतर चतुर्थक विचलन है, जिसकी गणना संख्यात्मक रूप से की जा सकती है।
• चतुर्थक विचलन को अर्ध चतुर्थक श्रेणी के रूप में भी जाना जाता है।
• QD चतुर्थक विचलन को दर्शाता है, Q3 ऊपरी चतुर्थक को दर्शाता है और Q1 निम्न चतुर्थक को दर्शाता है।

चतुर्थक विचलन सूत्र

QD = (Q₃ - Q₁)/2

Important Points

चतुर्थक विचलन का गुणांक:

चतुर्थक विचलन के गुणांक का उपयोग करके डेटा के दो या दो से अधिक सेटों के लिए फैलाव की तुलना की जा सकती है (इसे फैलाव के चतुर्थक गुणांक के रूप में भी जाना जाता है)।

सूत्र : \({Q_3-Q_1}\over {Q_3 + Q_1}\)

यदि डेटा के एक सेट में दूसरे की तुलना में चतुर्थक विचलन का गुणांक अधिक होता है, तो उस डेटा सेट का अंतःचतुर्थक फैलाव अधिक होता है।

सही उत्तर ज्यामितीय माध्य है 

Key Points

एक बारंबारता बंटन में केंद्रीय मान के इर्दगिर्द गुच्छन की घटना को 'केंद्रीय प्रवृत्ति' कहा जाता है।

Important Points 
ज्यामितीय माध्य :

• यह एक चर के n मानों का माध्य है जिसकी उनके गुणनफल के nवें मूल के रूप में गणना की जाती है। ज्यामितीय माध्य औसत अनुपात और वृद्धि की आनुपातिक दरों के लिए सबसे उपयुक्त है, जबकि
• दी गई स्थिति की प्रकृति के आधार पर मूल्य, गति आदि जैसी औसत दरों को खोजने के लिए अंकगणित माध्य या हरात्मक  माध्य का उपयोग किया जा सकता है।
• ज्यामितीय माध्य (GM) वह औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समुच्चय की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मूल्यों का गुणनफल ज्ञात करके दर्शाता है। मूल रूप से, हम संख्याओं को एक साथ गुणा करते हैं और गुणा की गई संख्याओं का nवां मूल लेते हैं, जहां n डेटा मानों की कुल संख्या है।
• ज्यामितीय माध्य उत्पादों के एक समुच्चय का औसत है, जिसकी गणना आमतौर पर किसी निवेश या पोर्टफोलियो के प्रदर्शन परिणामों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसे तकनीकी रूप से "n संख्याओं के nवें मूल उत्पाद" के रूप में परिभाषित किया गया है।

Additional Information

• औसत या अंकगणितीय माध्य, या केवल माध्य जब कोई अस्पष्टता न हो, तो केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे सामान्य माप है। इसे नमूने में सभी मानों के योग के प्रेक्षणों की संख्या से विभाजन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह औसत किये जा रहे चर के चिह्न  के ऊपर एक बार द्वारा व्यक्त किया जाता है।
• हरात्मक माध्य : यह समुच्चय के प्रेक्षणों के व्युत्क्रमों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिलोम होता है।
• वितरण का माध्यक एक केंद्रीय बिंदु को रेखांकित करता है जो एक वितरण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, अर्थात, यह प्रेक्षणों के एक समुच्चय के बीच का सबसे मध्य मान है।

Confusion Points

• When analysing data that is additive in nature, such as weight, height, or income, the arithmetic mean is typically used as a measure of central tendency.
• The arithmetic mean may not be a suitable measure of central tendency when dealing with data that is proportional or multiplicative in nature, such as rates, proportions, or ratios.
• The geometric mean is an appropriate measure of central tendency for data that is proportional or multiplicative in nature, such as rates, proportions, or ratios.

आंकड़ों में, मध्यम तिरछा वितरण के लिए, माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच एक संबंध है। इस माध्यिका और  बहुलक संबंध को "अनुभवजन्य संबंध" के रूप में जाना जाता है

• माध्य डेटा सेट का औसत है जिसकी गणना सभी डेटा मानों को एक साथ जोड़कर और डेटा सेट की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।
•  माध्यिका मानों के सेट के बीच का मध्य मान है और इसकी गणना मानों को आरोही क्रम में या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके और फिर मध्य मान का चयन करके की जाती है।
• बहुलक आवृत्ति होती है और प्रत्येक डेटा मान होने की संख्या की गणना करके गणना की जाती है।

मध्यम रूप से तिरछे वितरण में, अर्थात सामान्य रूप से, माध्य और बहुलक के बीच का अंतर माध्य और माध्यिका के बीच के अंतर का तीन गुना के बराबर होता है। इस प्रकार,अनुभवजन्य संबंध - माध्य - बहुलक = 3 (माध्य - माध्यिका)।

यदि आगे हल किया जाए, तो बहुलक = 3 माध्यिका - 2 माध्य और 3 माध्यिका = 2 माध्य + बहुलक

इसलिए 2 माध्यिका - 3 चतुर्थक विचलन = 2 माध्य एक मॉडल वितरण में सत्य नहीं है।